Tài liệu Chuyên đề Chuyên đề I - Giải tích 12 - Ứng dụng đạo hàm đề khảo sát hàm số

 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 
 I ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 CHƯƠNG
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 
 I LÝ THUYẾT. 
 1. Định nghĩa: Cho hàm số y= fx() xác định trên miền D . 
  fx() ≤ M, ∀∈ x D
 • Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= fx() trên D nếu:  . 
 ∃∈x00 Df, () x = M
 Kí hiệu: M= max fx() hoặc M= max fx(). 
 xD∈ D
  fx() ≥ m, ∀∈ x D
 • Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= fx() trên D nếu:  . 
 ∃∈x00 Df, () x = m
 Kí hiệu: m= min fx()hoặc m= min fx() 
 xD∈ D
 2. Định lý 
 Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. 
 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn 
 Giả sử hàm số y= fx() liên tục trên đoạn []ab; . Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
 nhất của hàm f trên đoạn []ab; ta làm như sau: 
 Tìm các điểm xx12; ;...; xn thuộc ()ab; sao cho tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc 
 không xác định. 
 Tính fx()()()()()12; fx ;...; fxn ; fa; fb. 
 So sánh các giá trị tìm được. 
 Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn []ab; , số nhỏ nhất trong 
 các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn []ab; . 
 * Nếu: 
 max fx()()= fb
  []ab;
 1) y'> 0, ∀∈ x[] ab ; ⇒ 
 min fx()()= fa
  []ab;
 max fx()()= fa
  []ab;
 2) y'< 0, ∀∈ x[] ab ; ⇒ 
 min fx()()= fb
  []ab;
 Chú ý 
 Page 126 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm 
 số trên một đoạn. 
 Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa 
 khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm f rồi dựa vào nội dung của 
 bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên khoảng (nửa khoảng) 
 đó. 
 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không 
 tồn tại. 
 * Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ. 
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN 
 DẠNG 1. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN BẰNG HÀM SỐ CỤ THỂ, BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ 
 THỊ HÀM SỐ CHO TRÊN ĐOẠN VÀ KHOẢNG. 
Câu 1. Cho hàm số y= fx() liên tục trên []−3; 2 và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi M và 
 m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= fx() trên[]−1; 2 . Giá trị của 
 Mm+ bằng bao nhiêu ? 
 42
Câu 2. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số yx=+−21 x trên đoạn 1; 3 . 
 
 32
 b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số yx=−+32 x + trên đoạn[]−1; 2 . 
 −−x2 4 3
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số fx() = trên đoạn ;4 . 
 x 2
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số yx=−+3 31 x trên đoạn []0; 2 . 
 xx2 −+22
Câu 5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên 
 x − 2
 
 3;2+ 2 2 . Tính Mm− . 
 xx2 ++4
Câu 6. Kí hiệu m và M lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên 
 x +1
 M
 đoạn []0;3 . Tính giá trị của tỉ số . 
 m
 −−x2 4 3
Câu 7. Gọi giá trị lớn nhất của hàm số, giá trị nhỏ nhất của hàm số fx() = trên đoạn ;4 
 x 2
 lần lượt là Mm, . Tìm Mm− 3 
 Page 127 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Câu 8. Cho hàm số fx( ) liên tục trên đoạn [−2;3] có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi mM, lần lượt 
 là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2;3] . Giá trị của 23mM− 
 bằng bao nhiêu? 
Câu 9. Cho hàm số fx() liên tục trên [−1; 5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi M và m lần 
 lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [−1; 5] . Giá trị của Mm− bằng 
 bao nhiêu? 
 Page 128 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Câu 10. Cho hàm số fx liên tục trên [−1; 3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi Mm, lần lượt là giá 
 trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= fx( ) trên [−1; 3] . Tính Mm− . 
Câu 11. Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên đoạn [−2;6] có đồ thị như hình vẽ. Gọi M , m lần lượt 
 là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của fx( ) trên đoạn [−2;6]. Giá trị của 23Mm+ là 
 22
Câu 12. Cho hàm số y=−+ xx4 + 21 −−+ xx 3 + 10 , gọi y0 là GTNN của hàm số đã cho, đạt 
 4
 được tại điểm x0 . Tính 6xy00+ . 
Câu 13. Cho hàm số y= fx() liên tục trên và có đồ thị như hình dưới: 
 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= fx2 () + 3trên đoạn[0; 2] . 
Câu 14. Cho hàm số y= fx() liên tục trên và có đồ thị như hình dưới: 
 = − 2 −
 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y1 fx () trên đoạn [ 2;1]. 
 Page 129 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 DẠNG 2: TÌM MAX- MIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 
 2
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yxx=−+sin 4sin 2. 
Câu 2. Cho hàm số y= fx( ) có bảng xét dấu biến thiên như sau: 
 Giá trị lớn nhất của hàm số fx(sin− 1) bằng bao nhiêu? 
Câu 3. Cho hàm số = ( ) xác định và liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M vàm lần lượt 
 là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số = ( + 2). Giá trị của bằng 
 𝑦𝑦 𝑓𝑓 𝑥𝑥
 𝑦𝑦 𝑓𝑓 −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑀𝑀 − 𝑚𝑚
Câu 4. Cho hàm số y= fx( ) có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số yf=(2 − x2 ) trên 
 
 đoạn 0; 2 . 
 Page 130 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Câu 5. Cho hàm số fx() liên tục trên [−1; 5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm giá trị lớn nhất 
 và nhỏ nhất của hàm số y= fx( 2 −+24 x ) trên [0; 2] . 
Câu 6. Cho hàm số y fx liên tục trên tập và có bảng biến thiên như sau 
 Gọi Mm; lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y fx 2 2 x trên 
 37
 đoạn ; . Tìm tổng Mm . 
 22
Câu 7. Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ: 
 Xét hàm số gx( ) = f(21 x3 +− x) + m. Tìm m để maxgx( ) = − 10 . 
 [0;1]
 DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ 
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y=−−+ x323 xm trên 
 đoạn [−1;1]bằng 0 . 
 xm− 2
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = đạt giá trị lớn nhất bằng 3 trên 
 x +1
 [−−4; 2] . 
 Page 131 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 2
Câu 3. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y=( x3 −+3 xm)
 trên đoạn [−1;1] bằng 1. 
Câu 4. Tìm tất cả các của tham số m đểGTNN của hàm số y= x2 −43 xm ++ bằng 5. 
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của m để GTNN của hàm số y= x2 −4 xm + +− 34 x bằng −5. 
Câu 6. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 
 fx( ) = x3 −+3 xm trên đoạn [0;3] bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S bằng 
Câu 7: Gọi tập S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 
 y= x3 −+3 xm trên đoạn [0; 2] bằng 3. Số phần tử của S là 
Câu 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y= x2 ++ xm thỏa mãn 
 miny = 2 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng 
 [−2; 2]
Câu 9: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số fx( ) =3 x43 −− 4 x 12 x 2 + m trên đoạn [−1; 3] . Có bao 
 59
 nhiêu số thực m để M = ? 
 2
 xm−−2 m
Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = thỏa maxy = 1
 x + 2 [1;2]
 . Tích các phần tử của S bằng 
Câu 11: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 
 x2 ++ mx m
 y = trên [1; 2 ] bằng 2 . Số phần tử của S là 
 x +1
Câu 12: Xét hàm số f( x) = x2 ++ ax b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số 
 trên [−1; 3] . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính Ta= + 2 b. 
 32
Câu 13: Cho hàm số yx=−+3 xm (với m là tham số thực). Hỏi max y có giá trị nhỏ nhất bằng 
 [1;2]
 42
Câu 14: Cho hàm số f( x) =8 x ++ ax b , trong đó a , b là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa a và 
 b để giá trị lớn nhất của hàm số fx( ) trên đoạn [−1;1] bằng 1. 
 432
Câu 15: Cho hàm số fx( ) =−++ x44 x x a. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
 nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0; 2] . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [−3; 3] sao 
 cho Mm≤ 2 ? 
 x4 ++ ax a
Câu 16: Cho hàm số y = . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
 x +1
 hàm số trên đoạn [1; 2 ]. Có bao nhiêu số nguyên a sao cho Mm≥ 2 ? 
Câu 17: Cho hàm số y=2 xx −−2 ( x + 13)( −+ x) m. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số 
 m để maxy = 3? 
 Page 132 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 2
Câu 18: Cho hàm số y=2 xx −−( x + 13)( −+ x) m. Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ 
 nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? 
 142 19
Câu 19: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m để hàm số y= x − x ++30 xm có giá trị lớn 
 42
 nhất trên đoạn [0; 2] không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng 
Câu 20: Cho hàm số y=23 x32 −+ xm. Có bao nhiêu số nguyên m để minfx( ) ≤ 3 ? 
 [−1;3]
 2
Câu 21: Cho hàm số f() x= ax ++ bx c, fx( )≤ 1, ∀∈ x [0;1] . Tìm giá trị lớn nhất của f ′(0). 
 4 32
Câu 22: Cho hàm số yx= −2 xxa ++. Có bao nhiêu số thực a để minyy+= max 10 ? 
 [−1; 2] [−1; 2]
 DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN 
 CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH f( xm,0) = CÓ NGHIỆM 
 (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN ) 
I. Phương pháp: 
 Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho. 
 Bước 2. Đặt t= ux( ) hoặc x= ut( ) . Tìm tập giá trị K của t . Chuyển bài toán về: tìm điều kiện 
 của m để phương trình gt( ) = hm( ) có nghiệm thuộc K . 
 Bước 3. Tìm GTLN, GTNN của gt( ) hoặc tập giá trị của gt( ) trên K để suy ra điều kiện của m
 . 
 Một số cách đặt ẩn phụ thường gặp: 
  ax+± b cx + d
 1. Xuất hiện biểu thức đối xứng  . PP: Đặt t= ax ++ b cx + d . 
  (ax++ b)( cx d )
 2. Xuất hiện a+ bx và c− bx (ac+>0) . 
 22  a+= bx a + c sinα π
 PP: Vì ( a+ bx) +−( c bx) =+ a c . Nên đặt  , α ∈ 0; . 
  c−= bx a + c cosα 2
  α
  2 tan
 sinα = 2
  α
  1+ tan 2
  2 α
 Và sử dụng hệ thức  , tiếp tục đặt t = tan , t ∈[0;1] . 
 α 2
  1− tan 2
 
 cosα = 2
  2 α
  1+ tan
  2
 Ta được một phương trình ẩn t . 
Câu 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm: 
 6−+x 22( x − 14)( − xm) = + 4 x −+ 1 42.4 − x. 
Câu 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm: 
 (2m− 1) x + 3 +( m − 2) 1 − xm + −= 10. 
 Page 133 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN 
 CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI 
 MỌI xK∈ (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN) 
I. Phương pháp 
1. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng 
với mọi x∈[ ab; ]
 m> fx( ) ∀∈ x[ ab;] ⇔ m > max fx( )
 [ab; ] 
 m≥ fx( ) ∀∈ x[ ab;] ⇔ m ≥ max fx( )
 [ab; ] 
 m< fx( ) ∀∈ x[ ab;] ⇔ m < min fx( )
 [ab; ] 
 m≤ fx( ) ∀∈ x[ ab;] ⇔ m ≤ min fx( )
 [ab; ] 
 m> fx( ) có nghiệm x∈[ ab;] ⇔> m min f( x)
 [ab; ] 
 m≥ fx( ) có nghiệm x∈[ ab;] ⇔≥ m min f( x)
 [ab; ] 
 m< fx( ) có nghiệm x∈[ ab;] ⇔< m max f( x)
 [ab; ] 
 m≤ fx( ) có nghiệm x∈[ ab;] ⇔≤ m max f( x)
 [ab; ] 
2. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng 
với mọi x∈( ab; )
 MẸO NHỚ 
 Nếu hàm chỉ có max min 
 ở biên và không tồn tại 
 thì: Loại ∀ luôn có dấu 
 =, loại có nghiệm luôn bỏ 
 dấu =. 
 Nếu hàm có max min tồn 
 tại thì đang có dấu gì thì 
 giữ nguyên 
 m> f( x) ∀∈ x( ab; ) →≥m fb( ) m>max →> m fd( ) 
 m≥ f( x) ∀∈ x( ab; ) →≥m fb( ) m≥max →≥ m fd( ) 
 m< f( x) ∀∈ x( ab; ) →≤m fa( ) m<min →< m fc( ) 
 m≤ f( x) ∀∈ x( ab; ) →≤m fa( ) m≤min →≤ m fc( ) 
 m> fx( ) có nghiệm →>m fa( ) m>min →> m fc( ) 
 m≥ fx( ) có nghiệm →>m fa( ) m≥min →≥ m fc( ) 
 m< fx( ) có nghiệm →<m fb( ) m<max →< m fd( ) 
 m≤ fx( ) có nghiệm →<m fb( ) m≤max →≤ m fd( ) 
 Page 134 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 6x+( 28 + x)( − x) ≤ xm2 +− 1 
 nghiệm đúng với mọi x ∈−[ 2;8]. 
Câu 2. Cho phương trình 46+−xx2 − 3 xm ≤( x ++ 2 23 − x) . Tìm m để bất phương trình đã cho 
 có nghiệm thực? 
Câu 3. Tìm m để bất phương trình x+99 −≥− x x2 + xm + (1) có nghiệm. 
Câu 4. Cho hàm số fx( ) liên tục trên . Hàm số y= fx′( ) có đồ thị như hình vẽ 
 Tìm m sao cho bất phương trình f(2sin x) −< 2sin2 xm đúng với mọi x ∈(0;π ) ? 
 DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ: 
I. Phương pháp: 
Đưa yêu cầu bài toán về mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất 
của hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước. 
 Chú ý: 
Ta cũng có thể sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Một số 
bất đẳng thức thường dùng. 
 1. Bất đẳng thức AM− GM : 
 ab+
 • Cho hai số thực ab,0≥ ta có: ≥ ab hay a+≥ b2 ab . 
 2
 Dấu ''= '' xãy ra khi và chỉ khi ab= . 
 abc++
 • Cho ba số thực abc,,≥ 0 ta có: ≥ 3 abc hay a++≥ b c33 abc . 
 3
 Dấu ''= '' xãy ra khi và chỉ khi abc= = . 
 2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki : 
 • Cho hai bộ số thực (ab;,;) ( xy) ta có: ax+≤ by( a222 + b)( x + y 2) . 
 Dấu ''= '' xãy ra khi và chỉ khi ay= bx . 
 • Cho hai bộ số thực (abc;;) ,( xyz ;;) ta có: 
 ax++ by cz ≤( a2222 ++ b c)( x ++ y 22 z ) . 
 Dấu ''= '' xãy ra khi và chỉ khi abc::= xyz ::. 
 Page 135 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Câu 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật St()= 3 t23 − t. Tìm thời điểm t (giây) tại đó vận tốc 
 v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất? 
 1
Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình St( ) =−+ t423 t −− 24 t , trong đó t tính 
 4 
 bằng giây (s) và S tính bằng mét (m) . Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt giá 
 trị lớn nhất? 
Câu 3. Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các 
 suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên 
 xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức: 
 1 32
 ht( ) =−++ t5 t 24 t( t > 0) 
 3
 Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5
 giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ. Biết rằng mực nước 
 trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước. 
 1
Câu 4. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức Fx( ) = x2 (30 − x) , trong đó 
 40
 x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng 
 thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất. 
Câu 5. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60cm , thể tích 96000cm3 . Người 
 thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 VNĐm/ 2 và loại kính để 
 2
 làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ /m . Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá . 
Câu 6. Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng trong 
 một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số 
 ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu. 
Câu 7. Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 
 bằng 200 m3 . Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 
 2
 300 nghìn đồng /m (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và 
 diện tích xung quanh không tính chiều dày của đáy và thành bên). Tính chi phí thấp nhất để 
 xây bể ( làm tròn số tiền đến đơn vị triệu đồng). 
 Page 136 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 
 I ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 CHƯƠNG
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 
 I LÝ THUYẾT. 
 1. Định nghĩa: Cho hàm số y= fx() xác định trên miền D . 
  fx() ≤ M, ∀∈ x D
 • Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= fx() trên D nếu:  . 
 ∃∈x00 Df, () x = M
 Kí hiệu: M= max fx() hoặc M= max fx(). 
 xD∈ D
  fx() ≥ m, ∀∈ x D
 • Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= fx() trên D nếu:  . 
 ∃∈x00 Df, () x = m
 Kí hiệu: m= min fx()hoặc m= min fx() 
 xD∈ D
 2. Định lý 
 Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. 
 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn 
 Giả sử hàm số y= fx() liên tục trên đoạn []ab; . Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
 nhất của hàm f trên đoạn []ab; ta làm như sau: 
 Tìm các điểm xx12; ;...; xn thuộc ()ab; sao cho tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc 
 không xác định. 
 Tính fx()()()()()12; fx ;...; fxn ; fa; fb. 
 So sánh các giá trị tìm được. 
 Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn []ab; , số nhỏ nhất trong 
 các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn []ab; . 
 * Nếu: 
 max fx()()= fb
  []ab;
 1) y'> 0, ∀∈ x[] ab ; ⇒ 
 min fx()()= fa
  []ab;
 max fx()()= fa
  []ab;
 2) y'< 0, ∀∈ x[] ab ; ⇒ 
 min fx()()= fb
  []ab;
 Chú ý 
 Page 1 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm 
 số trên một đoạn. 
 Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa 
 khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm f rồi dựa vào nội dung của 
 bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên khoảng (nửa khoảng) 
 đó. 
 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không 
 tồn tại. 
 * Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ. 
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN 
DẠNG 1. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN BẰNG HÀM SỐ CỤ THỂ, BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ 
 THỊ HÀM SỐ CHO TRÊN ĐOẠN VÀ KHOẢNG. 
Câu 1. Cho hàm số y= fx() liên tục trên []−3; 2 và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi M và 
 m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= fx() trên[]−1; 2 . Giá trị của 
 Mm+ bằng bao nhiêu ? 
 Lời giải 
 Ta có M= max f()() x = f −=13và m= min f()() x = f 00 = . 
 []−1;2 []−1;2
 Vậy Mm+=3 . 
 42
Câu 2. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số yx=+−21 x trên đoạn 1; 3 . 
 
 32
 b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số yx=−+32 x + trên đoạn[]−1; 2 . 
 Lời giải 
 a) TXĐ: . 
 yxx'4=3 + 4. 
 3 
 y'0440=⇔ xx + =⇔=∉ x 01;3. 
 yy(1)= 2;() 3 = 14 
 maxy = 14 khi x = 3 và miny = 2 khi x =1. 
  
 1; 3 1; 3
 ⇒ x = −1
 b) ĐS: maxy = 6 khi  và miny = 2 khi x = 0 . 
 []−1;2 x = 2 []−1;2
 Page 2 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 −−x2 4 3
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số fx( ) = trên đoạn ;4 . 
 x 2
 Lời giải 
 −−x2 44 44−+x2
 Ta có fx( ) = =−−x ⇒fx′( ) =−+1 = . 
 xx xx22
 =
 2 x 2
 −x +=40 
 3 x = −2
 Trên khoảng ;4 : fx′( ) =⇔023 ⇔ ⇔=x . 
 2 <<x 4 3
 2 <<x 4
 2
 3− 25
 Ta có f=; ff(2) =−=− 4; (4) 5. 
 26
 3
 Do hàm số fx( ) xác định và liên tục trên ;4 nên maxfx( ) = f( 2) = − 4 . 
 2 3
 x∈;4
 2
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số yx=−+3 31 x trên đoạn [0; 2] . 
 Lời giải 
 x =1 ∈[ 0; 2]
 Ta có: yx'3=2 − 3; y '0= ⇔  . 
 x =−∉1[ 0; 2]
 y (01) = ; y (11) = − ; y (23) = . 
 Suy ra miny = − 1. 
 [0;2]
 xx2 −+22
Câu 5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên 
 x − 2
 
 3;2+ 2 2 . Tính Mm− . 
 Lời giải 
 xx2 −+22
 Hàm số y = xác định và liên tục trên 3;2+ 2 2 . 
 x − 2 
 2 ′ 2
 Ta có yx= + ⇒=−y 1 2 . 
 x − 2 ( x − 2)
 x =−∉2 2 3;2 + 2 2
 2 
 ′ 2 
 yx=01 ⇔−2 = 0 ⇔( − 2) = 2 ⇔ . 
 ( x − 2)  =+∈+
 x 2 2 3;2 2 2
 52+ 4
 Ta có : y (35) = ; y (2+=+ 2) 2 22; y (2+= 22) . 
 2
 52+ 4
 Suy ra M = và m =2 + 22. 
 2
 52+ 4 2
 Vậy Mm−= −+(2 22) = . 
 22
 Page 3 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 xx2 ++4
Câu 6. Kí hiệu m và M lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên 
 x +1
 M
 đoạn [0;3] . Tính giá trị của tỉ số . 
 m
 Lời giải 
 Tập xác định D = \1{ − } 
 (21x+)( x + 1) − xx2 −− 4xx2 +−23x ∈[0;3]
 yx' = 22= ;  ⇔=1. 
 ( xx++11) ( ) y '0=
 Ta có f(0)= 4; ff (1) = 3; (3) = 4. 
 M 4
 Do đó m=min fx ( ) = 3; M =max fx ( ) =⇒= 4 . 
 [0;3] [0;3] m 3
 −−x2 4 3
Câu 7. Gọi giá trị lớn nhất của hàm số, giá trị nhỏ nhất của hàm số fx( ) = trên đoạn ;4 
 x 2
 lần lượt là Mm, . Tìm Mm− 3 
 Lời giải 
 −−x2 44 44−+x2
 Ta có fx( ) = =−−x ⇒fx′( ) =−+1 = . 
 xx xx22
 =
 2 x 2
 −x +=40 
 3 x = −2
 Trên khoảng ;4 : fx′( ) =⇔023 ⇔ ⇔=x . 
 2 <<x 4 3
 2 <<x 4
 2
 3− 25
 Ta có f=; ff(2) =−=− 4; (4) 5. 
 26
 3
 Do hàm số fx( ) xác định và liên tục trên ;4 nên maxfx( ) = f( 2) = − 4 . 
 2 3
 x∈;4
 2
 minfx( ) = f( 4) = − 5 . Hay Mm=−=−4; 5 suy ra Mm−=3 11. 
 3
 x∈;4
 2
Câu 8. Cho hàm số fx( ) liên tục trên đoạn [−2;3] có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi mM, lần lượt 
 là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2;3] . Giá trị của 23mM− 
 bằng bao nhiêu? 
 Page 4 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 Lời giải 
 Dựa vào đồ thị ta xác định được mM=−=3; 4 . Ta có 2mM− 3 =−− 6 12 =− 18 . 
Câu 9. Cho hàm số fx() liên tục trên [−1; 5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi M và m lần 
 lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [−1; 5] . Giá trị của Mm− bằng 
 bao nhiêu? 
 Lời giải 
 Dựa vào hình vẽ, ta có M=3; m =−⇒ 2 Mm − = 5 . 
Câu 10. Cho hàm số fx liên tục trên [−1; 3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi Mm, lần lượt là giá 
 trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= fx( ) trên [−1; 3] . Tính Mm− . 
 Lời giải 
 Quan sát đồ thị ta thấy hàm số y= fx( ) đạt giá trị nhỏ nhất trên [−1; 3] là −1 tại điểm 
 x = −1 và đạt giá trị lớn nhất trên [−1; 3] là 4 tại điểm x = 3. Do đó Mm=4, = − 1. 
 Giá trị Mm− =4 −−( 15) = . 
Câu 11. Cho hàm số y= fx( ) liên tục trên đoạn [−2;6] có đồ thị như hình vẽ. Gọi M , m lần lượt 
 là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của fx( ) trên đoạn [−2;6]. Giá trị của 23Mm+ là 
 Page 5 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 Lời giải 
 Nhìn vào đồ thị ta thấy: M = 6 , m = −4 . 
 Vậy giá trị 2Mm+ 3 = 2.6 + 3.( −= 4) 0 . 
 22
Câu 12. Cho hàm số y=−+ xx4 + 21 −−+ xx 3 + 10 , gọi y0 là GTNN của hàm số đã cho, đạt 
 4
 được tại điểm x0 . Tính 6xy00+ . 
 Lời giải 
 TXĐ: D =[ −2;5]. 
 Xét hàm số đã cho xác định và liên tục trên [−2;5] 
 −+xx2 23−
 Ta có: yx′ = + (−< 2 < 5) . 
 −+xx224 + 21 2 −+ xx 3 + 10
 −+xx2 23−
 y'=0⇔+ =0
 −+xx224 + 21 2 −+ xx 3 + 10
 ⇔(2x − 4) −+ xx22 3 + 10 = (2 x − 3) −+ xx 4 + 21
 −<25x <
 
 ⇔(2xx − 4)(2 −≥ 3) 0
  22 22
 (2x− 4) ( −+ xx 3 + 10) = (2 x − 3) ( −+ xx 4 + 21)
  3
 x ∈− 2; ∪[ 2;5)
  3  2
 x ∈− 2; ∪[ 2;5)  1
 ⇔ 2 ⇔  1 ⇒ = ∈−
 x = x ( 2;5)
 223 3
 25( 2xx−= 3) 49( − 2) 
   29
  =
 x
  17 
 1 1
 Xét: yy(2)−= 3; = 2;(5) y = 4 ⇒==min yy 2 
 3 [−2;5] 3
 1 4
 Suy ra, xy=, = 2 ⇒6xy00 += 10 
 003
Câu 13. Cho hàm số y= fx() liên tục trên và có đồ thị như hình dưới: 
 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= fx2 () + 3trên đoạn[0; 2] . 
 Lời giải 
 2
 Đặt gx()= f () x + 3. Từ đồ thị đã cho ta có: ∃∈x0 (0;1) để fx()00 = . 
 Và∀∈x [0; 2] thì −≤3fx () ≤⇒≤ 1 0 fx22 () ≤⇒≤ 9 3 fx () +≤ 3 12 ⇒≤ 3gx () ≤ 12 
 maxgx ( )= 12 khi fx( )=−⇔ 3 x = 2 ∈[ 0; 2] . 
 [0;2] 
 ⇒
 Page 6 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 Và mingx ( )= 3 khi fx( )=⇔= 0 x x0 ∈[0; 2] . 
 [0;2]
Câu 14. Cho hàm số y= fx() liên tục trên và có đồ thị như hình dưới: 
 = − 2 −
 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y1 fx () trên đoạn [ 2;1]. 
 Lời giải 
 GTNN là −8 khi x = −1. 
 xx= 1
 GTLN là 1 khi  (với xx12, là các nghiệm của fx()trên đoạn[−2;1]). 
 xx= 2
 1 1
 khi x = ⇒=x, y = 26 ⇒ xy +=4 8. 
 3 03 0 00
 ⇒ 
 Page 7 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 DẠNG 2: TÌM MAX- MIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 
 2
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yxx=−+sin 4sin 2. 
 Lời giải 
 Đặt tx= sin điều kiện −≤≤11t hàm số đã cho trở thành y= ft() =−+ t2 4 t 2 . 
 Ta có ft′()= 2 t − 4 , ft′()< 0 với ∀∈t [-1;1] nên hàm số ft() nghịch biến trên [−1;1] do đó 
 minft ( )= f (1) = − 1 và maxft ( )= f ( −= 1) 7 . 
 t∈−[ 1;1] t∈−[ 1;1]
 Vậy hàm số đã cho có GTLN là 7 và GTNN là −1 . 
Câu 2. Cho hàm số y= fx( ) có bảng xét dấu biến thiên như sau: 
 Giá trị lớn nhất của hàm số fx(sin− 1) bằng bao nhiêu? 
 Lời giải 
 Đặt sinxt−= 1 ,( −≤≤ 2 t 0) . 
 Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= ft( ) trên đoạn[−2;0]. 
 Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số y= ft( ) trên đoạn[−2;0]là 3khi t = −2 
 −π
 hay sinx=−⇔ 1 x = + k2π , kZ ∈ . 
 2
 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số fx(sin− 1) bằng 3. 
Câu 3. Cho hàm số = ( ) xác định và liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M vàm lần lượt 
 là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số = ( + 2). Giá trị của bằng 
 𝑦𝑦 𝑓𝑓 𝑥𝑥
 𝑦𝑦 𝑓𝑓 −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑀𝑀 − 𝑚𝑚
 Lời giải 
 Đặt tx=−+sin 2 vì −≤1 sinxt ≤⇒∈ 1 [1; 3]. Xét hàm số y= ft( ) với t ∈[1; 3] , 
 Page 8 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 Từ đồ thị đã cho, ta có M=max ft ( ) = f (3) = 3;min ft ( ) = f (2) =−⇒ 2 M − m =5.
 [1;3] [1;3] 
Câu 4. Cho hàm số y= fx() có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số yf=()2 − x2 trên 
 
 đoạn 0; 2 . 
 Lời giải 
 Đặt tx=2 − 2 . 
 ′ =−≤  =⇔= = − 2
 Vì tx20,∀∈x 0; 2 và tx'0 0 nên hàm số tx2 nghịch biến trên đoạn 
  ∈
 0; 2 . Nên ta có x ∈⇔0; 2 t []0; 2 . Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm 
 số y= ft() trên đoạn []0; 2 . 
 Từ đồ thị hàm số y= fx() cho thấy : trên []0; 2 hàm số y= ft() nghịch biến. 
 Do đó maxft()()= f 0 = 4.
 []0;2
Câu 5. Cho hàm số fx() liên tục trên []−1; 5 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm giá trị lớn nhất 
 và nhỏ nhất của hàm số y= fx()2 −+24 x trên []0; 2 . 
 Lời giải 
 Đặt tx=−+2 2 x 4, x ∈[] 0; 2 .
 Ta có tx'() = 22 x − . 
 tx'0() =⇔= x 1.
 Page 9