Tách phân dạng Toán Đề thi TN THPT môn Toán BGD năm 2017-2023 - Tập 2: Hình học

 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 MỤC LỤC 
 ♻- THỂ TÍCH KHỐ ĐA DIỆN .................................................................. 2 
 §1- KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN ................................................................ 2 
Ⓐ Tóm tắt lý thuyết cơ bản ...................................................................... 2 
Ⓑ Dạng toán cơ bản .................................................................................... 3 
 ➽Dạng ➀: Câu hỏi về đỉnh, cạnh, mặt của một khối đa diện ........................ 3 
 ➽Dạng ➁: Phân chia, lắp ghép các khối đa diện ........................................... 3 
 §2- KHỐI ĐA DIỆN LỒI – ĐA DIỆN ĐỀU ................................................. 5 
Ⓐ Tóm tắt lý thuyết cơ bản ...................................................................... 5 
Ⓑ Dạng toán cơ bản .................................................................................... 6 
 ➽Dạng ➀: Tính chất đối xứng và tính chất HH khác của khối đa diện, .. 6 
 §3- THỂ TÍCH KHỐI CHÓP .................................................................... 8 
Ⓐ Tóm tắt lý thuyết cơ bản ...................................................................... 8 
Ⓑ Dạng toán cơ bản .................................................................................. 10 
 ➽Dạng ➀: Câu hỏi dạng lý thuyết(Công thức V,h,B;có sẵn h, B; ) .......... 10 
 ➽Dạng ➁: Tính thể tích các khối chóp liên quan cạnh bên vuông góc đáy 
 .
 .............................................................................................................................. 14 
 ➽Dạng ➂: Thể tích khối chóp đều ................................................................. 19 
 ➽Dạng ➃: Thể tích khối chóp khác ............................................................... 24 
 ➽Dạng ➄: Tỉ số thể tích trong khối chóp ...................................................... 36
 §4- THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ. ......................................................... 42 
Ⓐ Tóm tắt lý thuyết cơ bản .................................................................... 42 
Ⓑ Dạng toán cơ bản .................................................................................. 43 
 ➽Dạng ➀: Câu hỏi dạng lý thuyết(Công thức V,h,B ;có sẵn h, B; ) ........ 43 
 ➽Dạng ➁: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và câu hỏi liên 
 quanh thể tích lăng trụ đứng. ............................................................................ 45 
 ➽Dạng ➂: Thể tích khối lăng trụ đều ........................................................... 59 
 ➽Dạng ➃: Câu hỏi liên quan đến thể tích (góc, khoảng cách,.) .................. 61 
 ➽Dạng ➄: Bài toán cực trị ............................................................................ 63 
 ➽Dạng ➅: Bài toán thực tế về khối đa diện, v.v.v ...................................... 65 
 1 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 CHƯƠNG ❶ ♻- THỂ TÍCH KHỐ ĐA DIỆN 
 §1- KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN 
 Ⓐ Tóm tắt lý thuyết cơ bản 
❶. Khái niệm về hình đa diện 
 • Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được 
 tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa 
 mãn hai điều kiện sau: 
 • Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có 
 điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc có một 
 cạnh chung. 
 • Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung 
 của đúng hai đa giác. 
 • Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của 
 hình đa diện. 
 • Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự 
 gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện. .
❷.Khái niệm về khối đa diện 
 • Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian được giới hạn bởi hình đa 
 diện. 
 • Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi 
 d 
 là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các 
 điếm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa Miền ngoài 
 diện. Điểm trong N 
 • Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không 
 thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện ấy được Điểm ngoài
 M 
 gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các 
 điểm trong được gọi là miên trong của khối đa 
 diện. 
 • Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi 
 đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài,. của một khối đa diện theo thứ tự là 
 đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài,. của hình đa diện tương ứng. 
 • Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình 
 lăng trụ. 
 • Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp. 
 • Khối đa diện được gọi là khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình 
 chóp cụt. Tương tự ta có các định nghĩa về khối chóp n - giác; khối chóp cụt 
 n - giác, khối chóp đều, khối hộp,. 
 Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay 
 hình chóp giới hạn nó. 
 2 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 ❸. Phân chia lắp ghép khối đa diện. 
 • Nếu khối đa diện H là hợp của hai khối đa diện H , H sao cho 
 ( ) ( 1 ) ( 2 ) 
 (H1 ) và (H2 ) không có điểm trong chung thì ta nói có thể phân chia khối 
 đa diện (H ) thành hai khối đa diện (H1 ) và (H2 ) . Khi đó, ta cũng nói 
 có thể ghép hai khối đa diện (H1 ) và (H2 ) để được khối đa diện (H). 
 • Sau đây là một số ví dụ về phân chia các khối đa diện: 
 • Nếu khối đa diện (H ) là hợp của hai khối (H1 ) và (H2 ) sao cho và 
 không có chung điểm nào thì ta nói có thể chia khối đa diện thành 
 hai khối đa diện và , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện và 
 thanh một khối đa diện (H ) . 
 Ⓑ
 Dạng toán cơ bản .
➽Dạng ➀: Câu hỏi về đỉnh, cạnh, mặt của một khối đa diện 
Câu 1: (ĐTK 2017-Câu 20) Hình đa diện trong hình vẽ có bao nhiêu mặt? 
 A. 6 B. 10 C. 12 D. 11 
 Lời giải 
 Chọn D 
 Đếm đáy hình chóp có 5 mặt và 5 mặt của lăng trụ và 1 mặt đáy. Vậy có 
 11 mặt. 
➽Dạng ➁: Phân chia, lắp ghép các khối đa diện 
Câu 2: (THPTQG 2017-MĐ102-Câu 25) Mặt phẳng (AB C ) chia khối lăng 
 trụ ABC. A B C thành các khối đa diện nào? 
 A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. 
 B. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. 
 C. Hai khối chóp tam giác. 
 D. Hai khối chóp tứ giác. 
 Lời giải 
 Chọn B 
 3 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 Mặt phẳng (AB C ) chia khối lăng trụ ABC. A B C thành hai khối chóp 
Chóp tam giác: AABC. và chóp tứ giác: A. BB C C . 
 .
 4 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 §2- KHỐI ĐA DIỆN LỒI – ĐA DIỆN ĐỀU 
 Ⓐ Tóm tắt lý thuyết cơ bản 
 Ghi nhớ! 
❑. Khối đa diện lồi: 
  Khối đa diện H được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai 
 điểm bất kì của H luôn thuộc H . Khi đó đa diện giới hạn H được 
 gọi là đa diện lồi 
 Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 
  Một khối đa diện là khối đa 
 diện lồi khi và chỉ khi miền 
 trong của nó luôn nằm về một 
 phía đối với mỗi mặt phẳng đi 
 qua một mặt của nó. 
 .
❑-Khối đa diện đều: 
 ❶. Định nghĩa: Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau 
đây: 
  Các mặt là những đa giác đều n cạnh. 
  Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh. 
 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại np, . 
 ❷.Định lí: Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là 
 ①. Loại 3;3 : khối tứ diện đều. ②. Loại 4;3 : khối 
 lập phương. 
 ③. Loại 3;4 : khối bát diện đều. ④. Loại 5;3 : khối 12 
 mặt đều. 
 ⑤. Loại 3;5 : khối 20 mặt đều. 
 Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Hình 12 mặt 
đều Hình 20 mặt đều 
❑-Số đỉnh, số cạnh, số mặt của các khối đa diện đều. 
 Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại 
 5 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
  Tứ diện 4 6 4 3;3 
 đều 
  Khối lập 8 12 6 4;3 
 phương 
  Bát diện 6 12 8 3;4 
 đều 
  Mười 20 30 12 5;3 
 hai mặt 
 đều 
  Hai 12 30 20 3;5 
 mươi 
 mặt đều 
 .
 Chú ý. 
 Đ C M
  Gọi là tổng số đỉnh, là tổng số cạnh và là tổng các mặt của khối đa 
 np;
 diện đều loại . 
  Ta có: pĐ 2 C nM 
 np3, 3 nM nM
 ①. Xét tứ diện đều: 3;3pĐ 2 C nM C 6 & Đ 4. 
 M 4 2 p 
 ②. Xét khối lập phương: 
 np4, 3 nM nM
 4;3pĐ 2 C nM C 12 & Đ 8. 
 M 6 2 p
 np3, 4 nM nM 
 ③. Xét bát diện đều: 3;4pĐ 2 C nM C 12 & Đ 6. 
 M 8 2 p 
 ④. Xét khối mười hai mặt đều: 
 np5, 3 nM nM 
 5;3pĐ 2 C nM C 30 & Đ 20. 
 M 12 2 p 
 ⑤. Xét khối hai mươi mặt đều: 
 np3, 5 pĐ 2 C nM nM nM 
 3;5C 30 & Đ 12. 
 M 20 2 p 
 Ⓑ Dạng toán cơ bản 
➽Dạng ➀: Tính chất đối xứng và tính chất HH khác của khối đa diện, 
 6 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
Câu 1: (ĐTN 2017-Câu 36) Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? 
 A. Tứ diện đều. B. Bát diện đều. 
 C. Hình lập phương. D. Lăng trụ lục giác đều. 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Dễ dàng thấy hình bát diện đều, hình lập phương và hình lăng trục lục 
 giác đều có tâm đối xứng. Còn tứ diện đều không có tâm đối xứng. 
Câu 2: (THPTQG 2017-MĐ101-Câu 18) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 
 đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? 
 A. 4 mặt phẳng B. 3 mặt phẳng C. 6 mặt phẳng D. 9 mặt phẳng 
 Lời giải 
 Chọn B 
 M 
 A B
 Q R .
 U V D N C
 B' 
 A' P X W
 T S
 D' O C'
 Xét hình hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D có ba kích thước đôi một 
 khác nhau. 
 Khi đó có 3 mặt phẳng đối xứng là MNOP,,. QRST UVWX 
Câu 3: (THPTQG 2017-MĐ103-Câu 23) Hình lăng trụ tam giác đều có bao 
 nhiêu mặt phẳng đối xứng? 
 A. 4 mặt phẳng. B. 1 mặt phẳng. 
 C. 2 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Lăng trụ đều có 4 mặt phẳng đối xứng là: 
 Mặt phẳng cách đều 2 đáy. 
 3 mặt phẳng chứa 1 cạnh bên và trung điểm cạnh đáy. 
 7 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 §3- THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 
 Ⓐ Tóm tắt lý thuyết cơ bản 
 ❶. Thể tích: 
 Công thức tính thể tích khối chóp 
 1
  Thể tích khối chóp: V= S®¸y . h . 
 3 
  S®¸y : Diện tích mặt đáy. 
  h: Độ dài chiều cao khối chóp. Chính 
 là khoảng cách từ đỉnh của chóp 
 xuống mặt đáy. 
 Công thức tính thể tích lăng trụ 
  Thể tích khối lăng trụ: V= S®¸y . h 
  : Diện tích mặt đáy. 
  h: Chiều cao của khối chóp. 
 Chú ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính 
 là cạnh bên. 
 .
❷. Các công thức tính thể tích thường gặp: 
 Công thức tính thể tích khối Lập phương 
 3
  Thể tích khối lập phương: Va= 
 Chú ý: Thể tích khối lập phương bằng 
 tích 3 kích thước của nó. 
 Công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật 
  Thể tích khối hộp chữ nhật: V= a.. b c 
 Chú ý: Thể tích khối hộp chữ nhật bằng 
 tích 3 kích thước của nó. 
 Tỷ số thê tích 
  Cho khối chóp S., ABC trên các đoạn 
 thẳng SA, SB , SC lần lượt lấy các 
 điểm ABC, , khác S. 
  Khi đó ta luôn có tỉ số thể tích: 
 V SA SB SC 
 SABC. 
 V SA SB SC 
 S. ABC 
  Ngoài những cách tính thể tích trên, ta 
 còn phương pháp chia nhỏ hối đa diện 
 thành những đa diện nhỏ mà dễ dàng 
 tính toán. Sau đó cộng chúng lại. 
 Chú ý: Ta thường dùng tỉ số thể tích khi 
 điểm chia đoạn theo tỉ lệ. 
 8 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 ❸. Công thức diện tích tam giác: 
 111 
 ①. S=== a... h b h c h 
 222a b c 
 1 1 1
 ②. S= bcsin A = casin B = ab sin C 
 2 2 2 
 abc
 ③. S = 
 4R 
 ④. S= pr (p: nửa chu vi của tam giác). 
 ⑤. S= p( p − a)( p − b)( p − c) 
 ⑥. ABC vuông tại A: 
 AB.. AC BC AH 
 S == 
 22 
 a2 3
 ⑦. ABC đều, cạnh a: S = . 
 4 
 ⑧. Đường cao trong đều cạnh a: 
 .
 a 3 
 AH = . 
 2 
❹. Công thức diện tích tứ giác: 
 ①. Hình vuông: 
 2
  Sa= (a: cạnh hình vuông) 
 ②. Hình chữ nhật: 
  S= ab (a, b: hai kích thước) 
 ③. Hình bình hành: 
  S= ®¸y chiÒu cao = AB . AD .sin BAD 
 ④. Hình thoi: 
 1 
  S== AB. AD .sin BAD AC . BD 
 2 
 ⑤. Hình thang: 
 1
  S=+( a b) h (a, b: hai đáy, h: chiều 
 2 
 cao) 
 9 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 ⑥. Tứ giác có hai đường chéo 
 vuông góc: 
 1 
  S= AC. BD 
 2 
 Ⓑ Dạng toán cơ bản 
➽Dạng ➀: Câu hỏi dạng lý thuyết(Công thức V,h,B;có sẵn h, B; ) 
Câu 1: (ĐTK 2018-Câu 4) Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện 
 tích đáy bằng B là 
 1 1 1
 A. V= Bh B. V= Bh C. V= Bh D. V= Bh 
 3 6 2 
 Lời giải 
 Chọn A 
Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng và diện tích đáy bằng là: . 
Câu 2: (THPTQG 2018-MĐ101-Câu 15) Cho khối chóp có đáy hình vuông 
 cạnh a và chiều cao bằng 2a . Thể tích cả khối chóp đã cho bằng 
 3 2 3 3 4 3
 A. 4a . B. a . C. 2a . D. a . .
 3 3
 Lời giải 
 Chọn B 
 2
 Diện tích đáy của hình chóp Ba= . 
 1 1 2
 Thể tích cả khối chóp đã cho là V= Bh =. a23 .2 a = a . 
 3 3 3 
Câu 3: (THPTQG 2018-MĐ102-Câu 7) Cho khối chóp có đáy là hình vuông 
 cạnh a và chiều cao 4a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 
 4 16
 A. a3 . B. a3 . C. 4a3 . D. 16a3 . 
 3 3 
 Lời giải 
 Chọn A 
 1 1 4 
 V= Bh =. a23 .4 a = a . 
 3 3 3 
Câu 4: (ĐTK 2020-L2-Câu 7) Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3 và 
 chiều cao h = 4. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 
 A. 6 . B. 12. C. 36. D. 4 . 
 Lời giải 
 Chọn D 
 11 
 Ta có V= Bh =.3.4 = 4. 
 33 
Câu 5: (THPTQG 2020-L1-MĐ101-Câu 18) Cho khối chóp có diện tích đáy 
 B = 6 và chiều cao h = 2. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 
 A. 6 . B. 3 . C. 4 . D. 12. 
 10 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 Lời giải 
 Chọn C 
 11 
 Thể tích khối chóp có công thức là V= B. h = .6.2 = 4 . 
 33 
Câu 6: (THPTQG 2020-L1-MĐ102-Câu 15) Cho hình chóp có diện tích đáy 
 B = 3 và chiều cao h = 2. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 
 A. 6 . B. 12. C. 2 . D. 3 . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 1
 V== B.2 h . 
 3 
Câu 7: (THPTQG 2020-L1-MĐ103-Câu 12) Cho khối chóp có diện tích B = 2 
 và chiều cao h = 3. Thể tích của khốp chóp bằng 
 A. 12. B. 2 . C. 3 . D. 6 . 
 Lời giải 
 Chọn B 
 11 
 V=. B . h = .2.3 = 2 . 
 33 
Câu 8: (THPTQG 2020-L1-MĐ104-Câu 15) Cho khối chóp có diện tích đáy .
 B = 3, chiều cao h = 8. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 
 A. 24 . B. 12. C. 8 . D. 6 . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 1 
 Thể tích khối chóp: V ==.3.8 8. 
 3 
Câu 9: (THPTQG 2020-L2-MĐ101-Câu 16) Cho khối chóp có diện tích đáy 
 2
 Ba= 2 và chiều cao ha= 6 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 
 3 3 3 3
 A. 12a . B. 4a . C. 2a . D. 6a . 
 Lời giải 
 Chọn B 
 1 1 
 Thể tích của khối chóp đã cho là: V= Bh ==.2a23 .6 a 4 a . 
 3 3 
Câu 10: (THPTQG 2020-L2-MĐ102-Câu 7) Cho khối chóp có diện tích đáy 
 Ba= 6 2 và chiều cao ha= 2 . Thể tích khối chóp đã cho bằng: 
 3 3 3 3 
 A. 2a . B. 4a . C. 6a . D. 12a . 
 Lời giải 
 Chọn B 
 11 
 V= B. h = 6 a23 .2 a = 4 a 
 33 
Câu 11: (THPTQG 2020-L2-MĐ103-Câu 4) Cho khối chóp có diện tích đáy 
 2
 Ba= 2 và chiều cao ha= 9 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 
 A. 3a3 . B. 6a3 . C. 18a3 . D. 9a3 . 
 Lời giải 
 11 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 Chọn B 
 1 1 23
 Thể tích khối chóp đã cho là V = .B.h== .2 a .9 a 6 a . 
 3 3 
Câu 12: (THPTQG 2020-L2-MĐ104-Câu 12) Cho khối chóp có diện tích đáy 
 Ba= 3 2 và chiều cao ha= 6 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 
 3 3 3 3 
 A. 3a . B. 6a . C. 9a . D. 18a . 
 Lời giải 
 Chọn B 
 1 1 
 Thể tích của khối chóp đã cho là V= B.h ==3a23 . 6 a 6 a . 
 3 3 
Câu 13: (ĐTK 2021-Câu 21) Một khối chóp có diện tích đáy bằng 6 và chiều 
 cao bằng 5. Thể tích của khối chóp đó bằng 
 A. 10. B. 30. C. 90. D. 15. 
 Lời giải 
 Chọn A 
 11 
 Thể tích của khối chóp đó bằng là V=. B . h = .6.5 = 10 (đvtt). 
 33
Câu 14: (THPTQG 2021-L1-MĐ101-Câu 22) Cho khối chóp có diện tích đáy 
 2 .
 Ba= 5 và chiều cao ha= . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 
 5 5 5
 A. a3 . B. a3 . C. 5a3 . D. a3 . 
 6 2 3 
 Lời giải 
 Chọn D 
 1 1 5 
 Thể tích của khối chóp đã cho V=. B . h = .5 a23 . a = a . 
 3 3 3 
Câu 15: (THPTQG 2021-L1-MĐ102-Câu 2) Cho khối chóp có diện tích đáy 
 Ba= 3 2 và chiều cao ha= . Thể tích của khối chóp đã cho bằng: 
 3 3 3 1 3 3
 A. a . B. 3a . C. a . D. a . 
 2 3
 Lời giải 
 Chọn D 
 11
 Công thức thể tích khối chóp là V= B. h = 3 a23 . a = a . 
 33 
Câu 16: (THPTQG 2021-L1-MĐ103-Câu 3) Cho khối chóp có diện tích đáy 
 2
 Ba= 7 và chiều cao ha= . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 
 7 7 7 
 A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. 7a3 . 
 6 2 3 
 Lời giải 
 Chọn C 
 17
 Áp dụng công thức tính thể tích ta được V== Bh a3 . 
 33 
 12 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
Câu 17: (THPTQG 2021-L1-MĐ104-Câu 27) Cho khối chóp có diện tích đáy 
 Ba= 8 2 và chiều cao ha= . Thể tích khối chóp đã cho bằng 
 3 4 3 3 8 3
 A. 8a B. a . C. 4a . D. a . 
 3 3
 Lời giải 
 Chọn D 
 1 1 8
 Thể tích khối chóp đã cho bằng V=. B . h = .8 a23 . a = a . 
 3 3 3 
Câu 18: (DE TN BGD 2022-MD 103 )Cho khối chóp S. ABC có chiều cao bằng 
 5, đáy ABC có diện tích bằng 6 . Thể tích khối chóp S. ABC bằng 
 A. 11. B. 10. C. 15. D. 30 . 
 Lời giải 
 Chọn B 
 11 
 VS. ABC =. S . h = .6.5 = 10 
 33 
Câu 19: (DE TN BGD 2022-MD 104)Cho khối chóp S. ABC có chiều cao bằng 
 5, đáy ABC có diện tích bằng 6.Thể tích khối chóp S. ABC bằng 
 A. 30. B. 10. C. 15. D. 11. 
 Lời giải 
 .
 Chọn B 
 1 
 Thể tích khối chóp S. ABC là VS. ABC ==.5.6 10 . 
 3 
Câu 20: (DE MH BGD 2023 – Câu 14 )Cho khối chóp S. ABC có đáy là tam giác 
 vuông cân tại A , AB = 2 ; SA vuông góc với đáy và SA = 3 (tham khảo 
 hình vẽ). 
 Thể tích khối chóp đã cho bằng 
 A. 12. B. 2 . C. 6. D. 4. 
 Lời giải 
 Chọn B 
 Thể tích khối chóp đã cho 
 1 1 1 1 1 1 
 V= B. h = S ABC . SA = . AB . AC . SA = . .2.2.3 = 2 . 
 3 3 3 2 3 2 
Câu 21: [MD 101-TN BGD 2023 - CÂU 16] Cho khối chóp S. ABCD có chiều 
 cao bằng và đáy có diện tích bằng . Thể tích khối chóp đã cho 
 4 ABCD 3 
 bằng 
 A. 7 . B. 5 . C. . D. 12. 
 13 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 Lời giải 
 Chọn C 
 11 
 Ta có V=. h . S = .4.3 = 4 . 
 S. ABCD33 ABCD 
Câu 22: [MD 101-TN BGD 2023 - CÂU 16] Cho khối chóp có chiều 
 cao bằng và đáy có diện tích bằng . Thể tích khối chóp đã cho 
 bằng 
 A. . B. . C. . D. . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Ta có . 
Câu 23: [MD 103-TN BGD 2023-CÂU 6] Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 
 Ba= 9 2 và chiều cao ha= 2 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 
 3 3 3 3 
 A. 3a . B. 24a . C. 18a . D. 6a . 
 Lời giải 
 Chọn D 
 11 
 Thể tích của khối chóp đã cho bằng V= Bh =.9 a23 .2 a = 6 a . 
 33 
 .
Câu 24: [MD 104-TN BGD 2023-CÂU 26] Cho khối chóp S. ABCD có chiều 
 cao bằng 4 và đáy ABCD có diện tích bằng 3 . Thể tích của khối chóp đã 
 cho bằng 
 A. 7 . B. 12. C. 4 . D. 5 . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 11 
 V= Sh = 3  4 = 4 . 
 33
Câu 25: (ĐTN 2017-Câu 35) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh 
 3
 2a và thể tích bằng a . Tính chiều cao h của hình chóp đã cho. 
 3a 3a 3a 
 A. h = B. h = C. h = D. ha= 3 
 6 2 3 
 Lời giải 
 Chọn D 
 2
 (23a) 
 Do đáy là tam giác đều cạnh 2a nên Sa==2 3 . 
 ABC 4 
 1 33Va3 
 Mà V= S. h ha = = = 3 . 
 ABC 2 
 3 S ABC 3a
➽Dạng ➁: Tính thể tích các khối chóp liên quan cạnh bên vuông góc đáy 
 S. ABCD
Câu 26: (TN BGD4 2022-MD101)ABCD Cho khối chóp S3. ABC có chiều cao bằng 3 , 
 đáy ABC có diện tích bằng 10. Thể tích khối chóp bằng 
 A. 72 . B. 155 . C. 10. D. 1230. 
 14 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 Lời giải 
 Chọn C 
 11 
 Thể tích khối chóp là V= B. h = .10.3 = 10 . 
 33 
Câu 27: (DE TN BGD 2022 - MD 102)Cho khối chóp S. ABC có chiều cao bằng 
 3, đáy ABC có diện tích bằng 10. Thể tích khối chóp bằng 
 A. 15. B. 10. C. 2 . D. 30. 
 Lời giải 
 Chọn B 
 11 
 VS. ABC = hB =3.10 = 10. 
 33 
Câu 28: (ĐMH 2017-Câu 36) Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là 
 hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 
 SA= a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD 
 2a3 2a3 2a3 
 A. V = B. V = C. Va= 2 3 D. V = 
 6 4 3 
 Lời giải 
 Chọn D 
 .
 S
 B 
 A
 D C
 Ta có SA⊥ ( ABCD) SA là đường cao của hình chóp 
 3 
 1 12 a 2
 Thể tích khối chóp S. ABCD : V= SA. SABCD = . a 2. a = . 
 3 3 3 
Câu 29: (ĐTK 2017-Câu 36) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh 
 a , SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB một góc bằng 
 ( ) 
 30. Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD . 
 6a3 6a3 3a3 
 A. V = B. Va= 3 3 C. V = D. V = 
 18 3 3 
 Lời giải 
 Chọn D 
 S. ABC 
 15 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 S 
 A B
 D C
 0 AD
 Góc giữa SD và mp(SAB) là DSA = 30 .Ta có SA== a 3 ; 
 tan 300
 13a3
 V== a2.3 a . 
 33 
Câu 30: (THPTQG 2017-MĐ101-Câu 43) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là 
 hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng (SAB) 
 một góc 300 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD 
 3 3 3
 6a 2a 2a 
 A. B. C. D. 2a3 
 3 3 3 
 Lời giải 
 Chọn B 
 S
 .
 300
 A D 
 B C 
 2 
 +) Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: SaABCD = 
 +) Chứng minh được BC⊥ ( SAB) góc giữa SC và (SAB) là CSA = 300 . 
 22
 +) Đặt SA= x SB = x + a . Tam giác SBC vuông tại B nên 
 1 BC 
 tanCSA = tan300 = = 
 3 SB 
 Ta được: SB= BC3 x22 + a = a 3 x = a 2 . 
 3 
 1 12 2a
 Vậy VSABCD=. SA . S ABCD = . a 2.a = (Đvtt) 
 3 3 3 
Câu 31: (THPTQG 2017-MĐ103-Câu 16) Cho khối chóp S. ABC có SA vuông 
 góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC =10 và CA = 8. Tính thể tích khối chóp 
 . 
 A. V = 40 . B. 192. C. V = 32. D. V = 24 . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 16 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 S 
 4 
 8 
 A C
 6 10 
 B 
 2 2 2
 Ta có AB+= AC BC suy ra tam giác ABC vuông tại A ,do đó diện tích 
 tam giác ABC là: 
 11 
 S= AB. AC = .6.8 = 24 
 22 
 11 
 Có VSABC=. SA . S ABC = .4.24 = 32. 
 33 
 .
Câu 32: (THPTQG 2017-MĐ102-Câu 36) Cho khối chóp S. ABCD có đáy 
 ABCD là hình chữ nhật, AB= a , AD= a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng 
 đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của 
 khối chóp S. ABCD . 
 a3 3a3
 A. V = B. V = C. Va= 3 D. Va= 3 3 
 3 3 
 Lời giải 
 Chọn.C 
 S 
 A a 60 B
 a 3 
 D C
 2
 Ta có SaABCD = 3 . 
 (SBC) =( ABCD) BC 
 
 Vì BC⊥ SB ( SBC) (( SBC) ,( ABCD)) = SBA . Vậy SBA = 60 
 BC⊥ AB( ABCD) 
 17 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 Xét tam giác vuông SAB( Aˆ = 1 v) có: 
 SA
 tan60= SA = AB tan60 = a 3 
 AB 
 1123 
 Vậy VS. ABCD= S ABCD . SA = a 3. a 3 = a . 
 33 
Câu 33: (THPTQG 2017-MĐ103-Câu 34) Cho khối chóp S. ABCD có đáy là 
 hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt 
 a 2
 phẳng (SBC) bằng . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 
 2 
 3 3 3 
 a 3 a 3 a
 A. V = . B. Va= . C. V = . D. V = . 
 2 9 3
 Lời giải 
 Chọn D 
 Kẻ AH vuông góc SB . 
 Ta có AH⊥ () SBC nên AH chính là khoảng cách từ A đến mp SBC . 
 ( ) 
 1 1 1 1 1 1 1 
 Ta có 2= 2 + 2 2 = 2 − 2 = 2 . 
 AH SA AB SA AH AB a 
 1 a3 .
 Suy ra SA= a. Thể tích cần tính là V== a.. a a . 
 33
Câu 34: (ĐTK 2021-Câu 43) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều 
 cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữu SA và mặt 
 phẳng (SBC) bằng 45 (tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp 
 S. ABC bằng 
 a3 3a3 3a3 a3 
 A. . B. . C. . D. . 
 8 8 12 4
 Lời giải 
 Chọn A 
 a2 3 
 Ta có: S = . Gọi M là trung điểm của BC suy ra AM⊥ BC , 
 ABC 4 
 kẻ AH⊥ SM 
 BC⊥ AM  
 Ta có:  BC ⊥( SAM) BC ⊥ AH . 
 BC⊥ SA 
 18 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155 TOÁN ⓬ - TÁCH PHÂN DẠNG TOÁN – TN BGD 2017-2023 
 Ghi Chú! 
 AH⊥ SM  
 Lại có:  ⊥AH( SBC) H là hình chiếu vuông góc của A 
 AH⊥ BC  
 xuống mặt phẳng (SBC). Suy ra SH là hình chiếu vuông góc của SA 
 xuống mặt phẳng (SBC). 
 Theo đề bài ta có: 
 a 3 
 (SA,( SBC)) =( SA , SH) = ASH = ASM = 45 AM = AS = 
 2
 1 1a 3 a23 3 a 
 V = SA. S =   = . 
 S. ABC3 ABC 3 2 4 8
➽Dạng ➂: Thể tích khối chóp đều 
Câu 35: (THPTQG 2017-MĐ101-Câu 21) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh 
 đáy bằng a,cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp 
 đã cho. 
 2a3 2a3 14a3 14a3 
 A. V = B. V = C. V = D. V = 
 2 6 2 6
 Lời giải 
Chọn D 
 S .
 A
 D 
 I
 B C
 2 
 aa2 14
 Chiều cao của khối chóp: =2 − 2 = 2 − = 
 SI SA AI4 a 
 22 
 3
 1 1aa 142 14 
Thể tích khối chóp: V= SI.. SABCD = a = 
 3 3 2 6 
Câu 36: (THPTQG 2017-MĐ104-Câu 27) Cho khối chóp tam giác đều S. ABC 
 có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp 
 S. ABC 
 13a3 11a3 11a3 11a3 
 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 
 12 12 6 4 
 Lời giải 
 Chọn B 
 19 
 Fb: Duong Hung word xinh Zalo chia sẻ word xinh: 0774860155