Phát triển 16 dạng Toán trọng tâm Đề thi tham khảo TN THPT năm 2023

 Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh 
 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1 Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh 
 DẠNG 1 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 
 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Biểu diễn hình học số phức 
 Số phức z= a + bi ( a, b ) được biểu diễn bởi điểm M( a; b) 
 hay bởi u= ( a; b) trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy . 
Tập hợp điểm biểu diễn số phức 
 Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp: 
 • ax+ by + c =0 tập hợp điểm là đường thẳng 
 • x = 0 tập hợp điểm là trục tung Oy 
 • y = 0 tập hợp điểm là trục hoành Ox 
 22
 • (x− a) +( y − b) R2 tập hợp điểm là hình tròn tâm I( a;, b) bán kính R 
 22
 x− a + y − b = R2
 • ( ) ( ) tập hợp điểm là đường tròn có tâm bán kính 
 x22+ y −2 ax − 2 by + c = 0
 R= a22 + b − c 
 • x 0 tập hơp điểm là miền bên phải trục tung 
 • y 0 tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành 
 • x 0 tập hợp điểm là miền bên trái trục tung 
 • y 0 tập hợp điểm là phía trên trục hoành 
 • y= ax2 + bx + c tập hợp điểm là đường Parabol 
 xy22
 • + =1 tập hợp điểm là đường Elip 
 ab22
 xy22
 • − =1 tập hợp điểm là đường Hyperbol 
 ab22
 B BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA 
Câu 35 – Đề tham khảo 2023. Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 
 zi+=21là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là. 
 A. (0;2) . B. (−2;0) . C. (0;− 2) . D. (2;0) . 
  Lời giải 
 Chọn C 
 Đặt z=+ x yi , với xy, . 
 2
 Từ giả thiết z+2 i = 1 x2 +( y + 2) = 1. 
 Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm I (0;− 2) , bán kính R = 1 
 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1 Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ 
 C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 
Câu 1: Cho các số phức z thỏa mãn iz−=+1 1 2 i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức 
 z là đường tròn (C) . Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C) lần lượt là 
 A. I (0;1) ; R = 3 . B. ; R = 3 . C. I (0;− 1); R = 3 . D. I (0;− 1) ; . 
Câu 2: Cho số phức z thoả mãn zi+6 − 2 = 4 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu 
 diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó. 
 A. I (−6;2) , R = 16. B. I (6;− 2) , R = 4 . 
 C. , R = 16. D. , . 
Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn zi+1 − 2 = 3 là 
 một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. I (−1;2) . B. I (−−1; 2) . C. I (1;2) . D. I (1;− 2) . 
Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm AB(2;−− 1) ;( 3;4) và điểm M( a; b) biểu diễn số 
 phức z . Biết số phức w=( z +24 i)( z − ) là số thực và M nằm trên trung trực của AB .Tổng 
 S=+ a b là 
 10
 A. S =−14 . B. S = 2 . C. S =−2 D. S = . 
 3
Câu 5: Cho số phức w có w = 3 . Một tam giác có một đỉnh là điểm biểu diễn của w và hai đỉnh còn 
 1 1 1
 lại biểu diễn hai nghiệm của phương trình =+. Diện tích của tam giác đó bằng 
 z+ w z w
 3 33 93 33
 A. . B. . C. . D. . 
 4 2 4 4
Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn zi+2 − 3 = 4 là 
 một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. I (2;3). B. I (−−2; 3) . C. I (−2;3) . D. I (2;− 3) . 
 2
Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn zi+(1 + 2) = 4 là 
 một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. I (−3;4). B. I (−−3; 4) . C. I (3;− 4) . D. I (3;4). 
Câu 8: Cho Gọi ()C là tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z+ z −4 + 4 z − z = 8 . Diện tích 
 hình phẳng được giới hạn bởi ()C là 
 A. 24 . B. 4 . C. 16. D. 8. 
Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z=+ x yi ( xy, ) thỏa mãn 
 1+z = i − z là 
 A. xy−=0 . B. xy+ −10 = . C. xy− +10 = . D. xy+=0. 
 2| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh 
Câu 10: Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho 
 2zz− 3 5 , và số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình H . 
 5 5 
 A. 2 . B. 5 . C. . D. . 
 2 4
Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện zi−1 + 2 3 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức 
 w=+ z(1 i) trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) là hình phẳng (H ) có diện tích bằng 
 A. S = 9 . B. S = 9 . C. S = 18 . D. S = 18 . 
 zi−+1
Câu 12: Xét các số phức z thỏa mãn là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức 
 (z++ z) i 1
 wz= 3 là một parabol có đỉnh 
 z
 39 39 3 33 39
 A. I −−; . B. I ; . C. I ;− . D. I ;− . 
 22 22 48 22
Câu 13: Cho số phức w=(12 + i) z + với 12+iz = z − i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức 
 w là đường thẳng . Khoảng cách từ điểm A(1;− 2) đến bằng 
 2
 A. 0 B. 22. C. 2 . D. . 
 2
Câu 14: Cho phương trình z32−( m +1) z +( m + 1 + mi) z − 1 − mi = 0 trong đó z , m là tham số thực. 
 Số giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu 
 diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là 
 A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. 
Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn iz+1 − 2 i = 3 là 
 một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. I (−−2; 1) . B. I (−2;1) . C. I (2;1) . D. I (2;− 1) . 
Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn (1+i) z + 5 − i = 2 
 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. I (2;3). B. I (2;− 3) . C. I (−−2; 3) . D. I (−2;3) . 
 z
Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn +12 +i = 
 34− i
 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. I (7;− 1) . B. I (−7;1) . C. I (−−7; 1) . D. I (7;1) . 
Câu 18: Cho số phức z có z −=12 và w=(1 + 3 i) z + 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức 
 w=(1 + 3 i) z + 2 là một đường tròn, tâm và bán kính đường tròn đó là 
 A. I (−=3; 3) , R 4. B. I (3;−= 3) , R 2. C. I ( 3; 3) , R= 4. D. I (3; 3) , R= 4. 
Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z −=22, biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức 
 w1=( −i) z + i là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. 
 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3 Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ 
 A. 2. B. 22. C. 2 . D. 4. 
 z
Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn zi−1 + 2 = 2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = trong mặt 
 1− i
 phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có tâm là 
 13 13 31 31
 A. I − ; . B. I ;− . C. I −−; . D. I ; . 
 22 22 22 22
 zi+−12
Câu 21: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn = 2 là 
 zi−+23
 A. Đường tròn tâm I (5;− 8) bán kính 2 17 . 
 B. Đường tròn tâm I (−5;8) bán kính 2 17 . 
 C. Đường tròn tâm I (5;4) bán kính 25. 
 D. Đường tròn tâm I (−5 ;4) bán kính 25. 
Câu 22: Cho z1 và z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn zi−5 − 3 = 5 , đồng thời zz12−=8 . Tập 
 hợp các điểm biểu diễn của số phức w =+zz12 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có 
 phương trình dạng ( x− a)22 +( y − b) = r2 ( r 0) . Tính giá trị của biểu thức T=+( a b) r . 
 A. T = 96 . B. T = 64 . C. T = 6 . D. T = 12 . 
 22
Câu 23: Biết phương trình z+ mz + m −20 = ( m là tham số thực) có hai nghiệm phức zz12, . Gọi 
 ABC,, lần lượt là điểm biểu diễn các số phức và zi0 = . Có bao nhiêu giá trị của tham số 
 m để diện tích tam giác ABC bằng 1? 
 A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 6 
 4| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh 
 ĐÁP ÁN CHI TIẾT 
Câu 1: Cho các số phức z thỏa mãn iz−=+1 1 2 i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức 
 z là đường tròn (C) . Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C) lần lượt là 
 A. I (0;1) ; R = 3 . B. ; R = 3 . C. I (0;− 1); R = 3 . D. I (0;− 1) ; . 
 Lời giải 
 z zi+6 − 2 = 4
 Chọn C 
 z I R
 Gọi z=+ x yi ( xy; ) . Theo bài ra: iz−1 = 1 + 2 i i( x + yi) − 1 = 1 + 2 i . 
 I (−6;2) R = 16 I (6;− 2) R = 4
 −13 −y + xi = xy2 + +132 = . 
 R = 16 ( )
 Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có tâm I (0;− 1) , bán kính 
 z zi+1 − 2 = 3
 R = 3. 
Câu 2: ChoI (số− 1;2phức) thoả mãn I (−−1; 2) . Biết rằng tậpI (1;2 hợp) điểm trong mặtI phẳng(1;− 2) toạ độ biểu 
 diễn các số phức là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó. 
 Oxy AB(2;−− 1) ;( 3;4) M( a; b)
 A. , . B. , . 
 z w=( z +24 i)( z − ) M AB
 C. , . D. , . 
 S=+ a b
 Lời giải 
 10
 ChọnS =− D 14 S = 2 S =−2 S =
 3
 Đặt z=+ x yi ( xy, ) . 
 Theo đề bài ta có: x+ yi +6 − 2 i = 4 ( x + 6) +( y − 2) i = 4 
 (x +6)2 +( y − 2) 2 = 4 ( x + 6) 2 +( y − 2) 2 = 16 . 
 Vậy tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (−6;2) , bán kính R = 4 . 
Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là 
 một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. . B. . C. . D. . 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Gọi z=+ x yi (với xy; ). Ta có: zi+1 − 2 = 3 
 22
 (x +1) +( y − 2) i = 3 (xy +1)22 +( − 2) = 3 (xy +1) +( − 2) = 9 . 
 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm I (−1;2) , bán kính R = 3. 
Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ , cho hai điểm và điểm biểu diễn số 
 phức . Biết số phức là số thực và nằm trên trung trực của .Tổng 
 là 
 A. . B. . C. D. . 
 Lời giải 
 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5 Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ 
 Chọn A 
 Ta có: AB(−5;5) . 
 −13
 Đường trung trực của đoạn thẳng đi qua trung điểm I ; có phương trình 
 22
 (d) : x−+= y 2 0 . 
 M d M( a; a + 2) z = a +( a + 2) i ; z= a −( a + 2) i . 
 Khi đó w= a +( a +4) i a − 4 −( a + 2) i 
 =a( a −4) − a( a + 2) i +( a − 4)( a + 4) i +( a + 4)( a − 2) 
 w là số thực khi và chỉ khi −a( a +2) +( a + 4)( a − 4) = 0 
 −a22 −2 a + a − 16 = =− =− +=− 0 a 8 b 6 a b 14 . 
Câu 5: Cho số phức có . Một tam giác có một đỉnh là điểm biểu diễn của và hai đỉnh còn 
 lại biểu diễn hai nghiệm của phương trình . Diện tích của tam giác đó bằng 
 A. . B. . C. . D. . AB
 Lời giải 
 Chọn C 
 z 0
 Điều kiện: 
 w 0
 w = 3
 1w 1 1 w
 Ta có =+ z. w = z + w w + z + w z z22 +z. w + w = 0 
 ( ) ( 1) 1 1
 z+ w z w =+
 2 z+ w z w
 zz z 13 13
 + +10 = = − i z = − i w = z . 
 3 33 93 1,2 33
 ww w 22 22
 4 2 4 4
 13
 Lúc đó z= z = − i w = w = 3 và w+ z + z = 0 . 
 12 22 12
 Suy ra w , z1 , z2 được biểu diễn bởi ba điểm ABC,, tạo thành một tam giác đều nằm trên đường 
 tròn tâm O bán kính R = 3 . 
 3 3 3 2 2 3 3
 Tam giác ABC đều có đường cao hR== , độ dài cạnh ah=. = . = 3 
 22 332
 1 9 3
 Diện tích tam giác là S== a. h . 
 ABC 24
 6| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh 
Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là 
 một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. . B. . C. . D. . 
 Lời giải 
 Chọn B 
 Gọi (với ). Suy ra z=− x yi . 
 Ta có: zi+2 − 3 = 4 (x +2) +( − y − 3) i = 4 
 22
 (xy +2)22 +( + 3) = 4 (xy +2) +( + 3) = 16 . 
 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm I (−−2; 3) , bán kính R = 4 . 
Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏaz mãn là 
 một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. . B. . C. . D. . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Gọi (với ). 
 2
 Ta có: zi+(1 + 2) = 4 zi −3 + 4 = 4 
 22
 (xy −3)22 +( + 4) = 4 (xy −3) +( + 4) = 16 . 
 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm I (3;− 4) , bán kính . 
Câu 8: Cho Gọi là tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn . Diện tích 
 hình phẳng được giới hạn bởi là 
 A. . B. . C. . D. 8. 
 Lời giải 
 Chọn D zi+2 − 3 = 4
 Đặt z= x + iy, x , y . Khi đó, đẳng thức z+ z −4 + 4 z − z = 8 2x − 4 + 4 2 iy = 8
 I (2;3) I (−−2; 3) I (−2;3) I (2;− 3)
 2xy − 2 + 8 = 8 xy −2 + 4 = 4 
 Ta được đồ thị như hình vẽ bên dưới: z zi+(1 + 2)2 = 4
 z=+ x yi xy; 
 I (−3;4) I (−−3; 4) I (3;− 4) I (3;4)
 ()C z z+ z −4 + 4 z − z = 8
 ()C
 24 4 16
 Đây là hình thoi có độ dài hai đường chéo là 2 ; 8 nên diện tích bằng (2.8) : 2 = 8. 
 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7 Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ 
Câu 9: TrongH mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn choz số phức Oxy thỏa mãn 
 2zz− 3 5 là z H
 5 5 
 A. 2 . B. 5 . C. . D. . 
 Lời giải 2 4
 Chọn D z zi−1 + 2 3
 2222
 Taw =+có z (1+=− ++=−− + iziz) 1 xyiixyi(Oxy) ( 1 xyxy) +=+−(H ) ( 1) += xy 0 . 
Câu 10: GọiS = 9 là hình biểu diễn S tập= 9 hợp các số phức S =trong18 mặt phẳng tọaS = độ18 sao cho 
 , và số phức có phầnzi−+ 1thực không âm. Tính diện tích hình . 
 z
 (z++ z) i 1
 A. . B. . C. . D. . 
 wz= 3
 39 39 Lời giải 3 33 39
 I −−; I ; I ;− I ;−
 Chọn C22 22 48 22
 Gọi z= x + yi,( x , y , x 0) . 
 xy22
 Ta có 2(x+−− yi) 3( x yi) 5 x2 + 255 y 2 + x 2 2525 y 2 + 1. 
 25 1
 xy22
 Xét elip(E) :1+=, có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của Elip với 
 25 1
 x 0 . 
 15 
 Ta có ab==5, 1, nên diện tích hình H là S==... a b . 
 22
Câu 11: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức 
 trong mặt phẳng tọa độ là hình phẳng có diện tích bằng 
 A. . B. . C. . D. . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Ta có zi−1 + 2 = 3 z(1 + i) +( − 1 + 2 i)( 1 + i) = 3 1 + i wi −3 + 3 2 . 
 22
 Giả sử w=+ x yi (xy, ) x −3 +( y + 1) i 3 2 (xy −3) +( + 1) 18 . 
 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I (3;1) và bán kính R = 18
 . Khi đó diện tích hình tròn là SR== 2 18 . 
Câu 12: Xét các số phức thỏa mãn là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức 
 là một parabol có đỉnh 
 A. . B. . C. . D. . 
 Lời giải 
 Chọn D z=+ x yi ( xy, )
 z−1 + i ( a − 1) + ( b + 1) i
 Gọi1+ zz == ia − + z bi( a, b ) . Khi đó = 
 21ai +
 xy−=0 xy+( −z10++ = z) i 1 xy− +10 = xy+=0
 8| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh 
 Vì là số thực nên ((a−1) +( b + 1) i)( 1 − 2 ai) là số thực hay −2a( a − 1) +( b + 1) =0 
 Suy ra 2a2 − 2 a − b − 1 = 0( *) 
 x
 a =
 3
 Mà , gọi w=+ x yi , suy ra: thay vào biểu thức (*) ta được 
 y
 b =
 3
 2
 x x y 2 2
 2 − 2 − − 1 = 0 y = x − 2 x − 3 
 3 3 3 3zi−+1
 (z++ z) i 1
 Do đó, tập hợp biểu biễn w là một parabol có đỉnh là 
 wz= 3
 39
Câu 13: Cho số phức với . Biết rằng tập hợp các điểmI biểu;− diễn số phức 
 22
 là đường thẳng . Khoảng cách từ điểm đến bằng 
 w=(12 + i) z + 12+iz = z − i
 A. B. . C. . D. . 
 w A(1;− 2) 
 Lời giải 2
 0 22 2
 Chọn B 2
 w2−
 Ta có w=(12 + i) z+=z32− m z +1 z +, m thay + 1 +vào mi 12 z+ −iz 1 − = mi z =− 0 i ta được: z m
 ( )1+ i ( )
 w− 2 w − 2m ii(w− 2) + 1 + w − 2 − 2ii − 2 2
 1+i =− 2 i = −++=− i( w 2) 1 i w 2 i 
 1+i 1 + i 1 + i 1 + i
 1+ i
 i w2 −+ =− −+−=− −−=− w2 i w21 i w2 i w1 i w2 i (1) 
 i
 Gọi w= x + yi( x, y ), từ (1) ta có x+ yi −12 − i = x + yi − i . 
 ( x −1) +( y − 1) i = x +( y − 2) i ( x −1)2 +( y − 1) 2 = x2 +( y − 2) 2 xy − +10 = . 
 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w trên mặt phẳng phức là đường thẳng :xy − + 1 = 0. 
 1−( − 2) + 1
 Khi đó d( A , ) = = 2 2. 
 112 +−( )2
Câu 14: Cho phương trình trong đó , là tham số thực. 
 Số giá trị của tham số để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu 
 diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là 
 A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. 
 Lời giải 
 Chọn D 
 Xét phương trình: 
 32 z =1
 z− m +1 z + m + 1 + mi z − 1 − mi = 0 
 ( ) ( ) 2
 z− mz +10 + mi =
 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9 Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ 
 z =1
 z =1 z =1
 zi = . 
 22 
 z− i −( mz − mi) = 0 (z− i)( z + i − m) = 0
 z=− m i
 Đặt A(1;0) , B (0;1) , Cm( ;1− ) lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm z = 1 , zi= , 
 z=− m i trên mặt phẳng phức. 
 Ta có: AB =−( 1;1), AC=( m −1; − 1) , BC=−( m;2) 
 2
 AB = 2 , BC=+ m2 4 , AC=( m −11) + . 
 Ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác khi và chỉ khi AB và AC không cùng phương hay 
 m 2 . 
 m −12 + 1 = 2
 AC= AB ( ) z m = 0
 mm2 −=20
 ABC 2 
 Tam giác cân = BC AB m +42 = = m 2 . 
 −=22m
 AC= BC 2 2 m =−1
 (mm−1) + 1 = + 4
 Kết hợp với điều kiện ta được m − 0; 1. 
 Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn đề. 
Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là 
 một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. . B. . C. . D. . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Gọi (với ). z iz+1 − 2 i = 3
 Ta có: i( z− i −23) = i. z − i − 2 = 3 zi − −23 = (x −2) +( y − 1) i = 3 
 I (−−2; 1) I (−2;1) 22I (2;1) I (2;− 1)
 (xy −2)22 +( − 1) = 3 (xy−2) +( − 1) = 9 . 
 1+i z + 5 − i = 2
 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm I (2;1) , bán kính( ) . 
Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn 
 I (2;3) I (2;− 3) I (−−2; 3) I (−2;3)
 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. . B. . C. . D. z . 
 z=+ x yi xy; z +12 +i =
 34− i
 Lời giải 
 Chọn D 
 I (7;− 1) I (−7;1) I (−−7; 1) I (7;1)
 Gọi (với ). Ta có: (1+i)( z + 2 − 3 i) = 3 1 +i . z + 2 − 3 i =R 2= 3
 22
 zi +2 − 3 = 2 (xy +2)22 +( − 3) = 2 (xy +2) +( − 3) = 2 . 
 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm I (−2;3) , bán kính R = 2 . 
Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn 
 là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là 
 A. . B. . C. . D. . 
 10| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh 
 22 Lời giải 2
 Chọn D 
 Gọi (với ). 
 z zi+−7 zi+−7 22
 Ta có: +12 +i = =2 =2 (xy +7) +( − 1) = 10 
 34− i 34− i 34− i
 22
 (xy+7) +( − 1) = 100 . 
 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn tâm I (−7;1) , bán kính R = 10 . 
Câu 18: Cho số phức có và Tập hợp các điểm biểu diễn số phức 
 là một đường tròn, tâm và bán kính đường tròn đó là 
 A. B. C. z D. 
 Lời giải 
 Chọn D 
 Ta có w=(1 + 3 i) z + 2 w =( 1 + 3 i)( z − 1) + 3 + 3 i w −(3 + 3 i) =( 1 + 3 i)( z − 1) . 
 Lấy môđun hai vế, ta được w−(3 + 3 i) = 1 + 3 i . z − 1 = 2.2 = 4. 
 2 2
 Biểu thức wi−(3 + 3) = 4 chứng tỏ tập hợp các số phức w là một đường tròn có tâm I (3; 3) 
 và bán kính R = 4. 
Câu 19: Cho số phức thỏa mãn , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức 
 là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. 
 A. 2. B. . C. . D. 4. 
 Lời giải 
 Chọn B 
 Cách 1: Ta đặt w =+a bi 
 a+−( b1) i a− b +11 a + b −
 a + bi =(1 − i) z + i z = = + i 
 1−i 2 2
 Theo giả thết , nên ta có: 
 22
 a− b +11 a + b − 22
 z=+ x− yi2 + xy; = 4 (a − b − 3) +( a + b − 1) = 16
 22 
 ++−a2 b 29 2 ab −+++++ 6 a 6 b a 2 b 2 1 2 ab −−= 2 a 2 b 16 
 2a2 + 2 b 2 −+−= +−+−= 8 a 4 b 6 0 a 2 b 2 4 a 2 b 3 0
 2
 Vậy tập hợp điểmz biểuz diễn−=12 của w wlà =đường1 + tròn 3 i z có + 2. bán kính R =22 +( − 1) −( − 3) = 2 2
 ( ) 
 w −i
 Cáchw=(1 2 +: Ta 3 icó:) z +w1 2 =( −i) z + i z =
 1− i 
 I (−=3; 3) , Rw 4.−iiI (3;−= w 3 −) , 2 R + 2. I ( 3; 3) , R= 4. I (3; 3) , R= 4.
 Mà z−= 22 −= 22 = −+=−= 2w22122* i i ( )
 11−−ii 
 z z −=22
 2
 Đặt w =+x yi khi đó * xy − 222 + + 1 = 2 2
 w1=( −i) z + i ( ) ( ) ( ) ( ) 
 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11 Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ 
 IR2;−= 1 , 2 2 .
 Đây là đường tròn có tâm ( ) 
 z
 z zi−1 + 2 = 2 w =
Câu 20: Cho số phức thỏa mãn . Tập hợp điểm biểu diễn số phức 1− i trong mặt 
 Oxy
 phẳng tọa độ là đường tròn có tâm là:: 
 13 13 31 31
 I − ; I ;− I −−; I ;
 A. 22. B. 22. C. 22. D. 22. 
 Lời giảizi +−12
 z = 2
 Chọn A zi−+23
 z
 Do w= z = wI((15; −− i 8) .) 2 17
 1−i
 I (−5;8) 2 17
 Theo giả thiết, z−+122 i = −+ z 122 i = −−= z 122 i w( 1 −−−= i) 122 i 
 I (5;4) 25
 1+ 2i 1 3 1 3
 −−1i w = 2 2. w +−= +−= i 2 w i 2 . 
 1−i I (−5 ;4) 2 225 2 2
 13
 Vậy tậpz1 hợpz 2điểm biểu diễn số phức w làz đường tròn tâmzi−5 I − 3− =; 5 . zz12−=8
 22
 w =+zz12 Oxy
Câu 21: Tập hợp các điểm biểu( x− diễn a)22 +số( yphức − b) = thỏa r2 ( r mãn 0) là T=+( a b) r
 T = 96 T = 64 T = 6 T = 12
 A. Đường tròn tâm bán kính . 
 B. Đường tròn tâm bán kính . 
 C. Đường tròn tâm bán kính . 
 D. Đường tròn tâm bán kính . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Gọi z=+ x yi z= x– yi ( xy, ) . 
 zi+−12
 = 2 zi+−12 = 2zi−+ 2 3 
 zi−+23
 ( x+12) +( y − ) i = 2( x− 2) +( 3 − y) i . 
 ( xy+12)22 +( − ) = 2( xy− 2)22 + 2( − 3) . 
 22
 x22+ y −10 x − 8 y + 21 = 0 ( xy−5) +( − 4) = 20 
 22
 Tập hợp các điểm M là đường tròn ( xy−5) +( − 4) = 20 với tâm I (5;4) bán kính 25. 
Câu 22: Cho và là hai trong các số phức thỏa mãn , đồng thời . Tập 
 hợp các điểm biểu diễn của số phức trong mặt phẳng tọa độ là đường tròn có 
 phương trình dạng . Tính giá trị của biểu thức . 
 A. . B. . C. . D. . 
 Lời giải 
 12| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh 
 Gọi AB; lần lượt là điểm biểu diễn của zz12; . Từ giả thiết zi−5 − 3 = 5 suy ra AB; thuộc 
 đường tròn tâm I (5;3) , bán kính 5 và zz12−=8 suy ra AB = 8 . 
 Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Khi đó ta tính được IM = 3. 
 zz+
 Mặt khác, M là điểm biểu diễn của số phức 12, I là điểm biểu diễn của số phức 53+ i , 
 2
 zz12+
 thay vào ta có biểu thức −5 − 3i = 3 ( z12 + z) − 10 − 6 i = 6 
 222
 z+ mz + m −20 = m zz12,
 Vậy điểm biểu diễn của zz12+ nằm trên đường tròn tâm J (10;6) ; r = 6 . 
 ABC,, zi0 =
 Khim đó a = 10 ; b = 6 ; r =ABC6 . Vậy (a+= b). r 96 . 
 2 3 4 6
Câu 23: Biết phương trình ( là tham số thực) có hai nghiệm phức . Gọi 
 lần lượt là điểm biểu diễn các số phức và . Có bao nhiêu giá trị của tham số 
 để diện tích tam giác bằng 1? 
 A. . B. . C. . D. 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Ta có: =m2 −4( m 2 − 2) = − 3 m 2 + 8 
 −2 6 2 6
 Trường hợp 1: 0 − 3mm2 + 8 0 . Khi đó, phương trình có hai 
 33
 nghiệm thực phân biệt là . 
 22 2
 Vì A, B Ox nên ABzz=1 − 2 =( zz 1 − 2) =( zz 1 + 2) −4 zz 1 2 = − 3 m + 8 . 
 Mặt khác, ta có C(0;1) = d( C ; AB) 1. 
 1−+ 3m2 8 2 3
 S = AB. d( C ; AB) = = 1 m = ( n) . 
 ABC 2 2 3
 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13 Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ 
 26
 m 
 2 3
 Trường hợp 2: 0 − 3m + 8 0 . Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức 
 −26
 m 
 3
 −mi + 
 liên hợp là z = . 
 1,2 2
 22
 Ta có: AB= z12 − z = i = −3 m + 8 = 3 m − 8 và C (0;1) . 
 m m
 Phương trình đường thẳng AB là x +=0 nên d( C; AB) = . 
 2 2
 2
 2 m = 4
 1 mm38− 
 Do đó, S ABC = AB. d( C ; AB) = = 1 4 m = 2 . 
 24 m2 =− (VN)
 3
 Vậy có 4 giá trị thực của tham số m thỏa mãn đề bài. 
 14| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh 
 DẠNG 2 VIẾT PTĐT ĐI QUA HAI ĐIỂM 
 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Để viết một phương trình đường thẳng thì ta cần một điểm đi qua và một vectơ chỉ phương của nó. 
 ▪ Đường thẳng d đi qua điểm M( x0;; y 0 z 0 ) và nhận u= ( a;; b c) là một vectơ chỉ phương thì đường 
 x=+ x0 at
 thẳng d có phương trình là: d:, y= y0 + bt( t ) 
 z=+ z0 ct
 ▪ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B thì nó nhận AB là một vectơ chỉ phương. 
 B BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA 
Câu 46 – Đề tham khảo 2023. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (1;−− 1; 1) và N (5; 5;1) . Đường 
thẳng MN có phương trình là: 
 xt=+52 xt=+5 xt=+12 xt=+12
 A. yt=+53 B. yt=+52 C. yt= −13 + D. yt= −1 + 
 zt= −1 + zt=+13 zt= −1 + zt= −13 +
  Lời giải 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Ta có MN ==(4; 6; 2) 2( 2;3;1). 
 Đường thẳng MN qua nhận MN = (2;3;1) làm vectơ chỉ phương 
 xt=+12
 Phương trình đường thẳng là: yt= −13 + . 
 zt= −1 +
 C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm E(− 1;0;2) và F(2;1;− 5) . Phương trình đường thẳng EF
 là 
 xt=+13 xt= −13 + xt=+1 xt= −1 +
 A. yt= . B. yt= . C. yt= . D. yt= . 
 zt= −27 − zt=−27 zt= −23 − zt=+23
Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm P(1;1;− 1) và Q(2;3;2) . Phương trình đường thẳng PQ 
 là 
 x−1 y − 1 z + 1 x−1 y − 1 z + 1
 A. ==. B. ==. 
 2 3 2 1 2 3
 x−1 y − 2 z − 3 x+2 y + 3 z + 2
 C. ==. D. ==. 
 1 1− 1 1 2 3
 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1 Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ 
Câu 3: Trong không gian , cho hai điểm và . Đường thẳng có 
 phương trình là: 
 A. B. C. D. 
Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 0;− 2) và B(3;− 3;1) . Đường thẳng AB có 
 phương trình là 
 x−+12 y z x−3 y + 3 z − 1
 A. == . B. ==. 
 2 3 3 −−2 3 3
 x−−12 y z x+3 y − 3 z + 1
 C. == . D. ==. 
 2− 3 3 2− 3 3
Câu 5: Trong không gian , cho ba điểm điểm A(4;− 3;2) , B(6;1;− 7) , C (2;8;− 1) . Đường thẳng 
 qua gốc toạ độ O và trọng tâm tam giác ABC có phương trình là 
 x y z x y z x y z x y z
 A. == . B. == . C. == . D. ==. 
 4 1− 3 2 1− 1 2 3− 1 2−− 1 1
 Oxyz M (1;−− 1; 1) N (5; 5;1)
Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 0;− 2) , B(2;− 2;1) và C (0; 0;1) . 
 MN
 Đường xt=+ trung52 tuyến AM có phương xt=+5 trình là xt=+12 xt=+12
 xtyt=+153 xtyt=−=+152 xtyt= −1213 + x =yt1= −1 +
 yt= −13 + yt=− yt=+1 yt =−
 A. zt= −1 + . B. zt=+13 . C. zt= −1 + . D. zt= −13 +. 
 zt=+1 zt= −23 + zt= −13 − zt= −23 +
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng 
 x−−21 y z
 : = = và vuông góc với mặt phẳng ( ) :x+ y + 2 z + 1 = 0 . Khi đó giao tuyến 
 1 1− 2
 của hai mặt phẳng ( );( ) có phương trình 
 x−+21 y z x+−21 y z
 A. : = = . B. : = = . 
 1− 5 2 1− 5 2
 x y+−11 z x y+−11 z
 C. : = = . D. : = = . 
 1 1 1 1 1 1
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (5;− 3;2) và mặt phẳng 
 (P) : x− 2 y + z − 1 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc (P) . 
 x+5 y − 3 z + 2 x−5 y + 3 z − 2
 A. ==. B. ==. 
 1− 2 1 1−− 2 1
 x−6 y + 5 z − 3 x+5 y + 3 z − 2
 C. ==. D. ==. 
 1− 2 1 1− 2 1
Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3;1;− 5) , hai mặt phẳng (P) : x− y + z − 4 = 0 và 
 Oxyz
 (Q) : 2 x+ y + z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A đồng thời song song với 
 hai mặt phẳng (P) và (Q) . 
 x−3 y − 1 z + 5 x+3 y + 1 z − 5
 A. : ==. B. : ==. 
 2−− 1 3 2−− 1 3
 x−3 y − 1 z + 5 x−3 y − 1 z + 5
 C. : ==. D. : ==. 
 2 1− 3 −−2 1 3
 2| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh 
Câu 10: Trong không gian , cho ba điểm ABC(1;− 2;0) , (2; − 1;3),( 0; − 1;1) . Đường trung tuyến 
 AM của tam giác ABC có phương trình tham số là 
 x = 1 xt=−12 xt=+1 xt=+12
 A. yt= −2 + . B. y =−2 . C. y =−2 . D. yt= −2 + . 
 zt= 2 zt=−2 zt=−2 zt= 2
Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng 
 (Pz) :−= 1 0 và (Q) : x+ y + z − 3 = 0. Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) , cắt 
 x−1 y − 2 z − 3
 đường thẳng d ': == và vuông góc với đường thẳng . Phương trình của 
 1−− 1 1
 đường thẳng d là 
 xt=+3 xt=−3 xt=+3 xt=+3
 A. yt= . B. yt= . C. yt= . D. yt=− . 
 zt=+1 z =1 z =1 zt=+1
 x−1 y + 3 z − 1
Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (−1;1;3) và hai đường thẳng : = = , 
 3 2 1
 x+1 y z
 : = = . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M và vuông 
 1 3− 2
 góc với và . 
 xt= −1 − xt=− xt= −1 − xt= −1 −
 A. yt=+1 . B. yt=+1 . C. yt=−1 . D. yt=+1 . 
 zt=+13 zt=+3 zt=+3 zt=+3
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) :3 x+ y + z = 0 và đường thẳng 
 x−+13 y z
 d : == . Gọi là đường thẳng nằm trong (P) , cắt và vuông góc với d . Phương 
 1− 2 2
 trình nào sau đây là phương trình tham số của ? 
 xt= −24 + xt= −34 + xt=+14 xt= −34 +
 A. yt=−35 . B. yt=−55 . C. yt=−15 . D. yt=−75 . 
 zt=−37 zt=−47 zt= −47 − zt=−27
Câu 14: Cho tứ diện ABCD có A(0;0;2) , B(3;0;5) , C (1;1;1) , D(4;1;2) . Phương trình đường cao kẻ 
 từ D của tứ diện là 
 x+4 y − 1 z − 2 x−4 y − 1 z − 2
 A. ==. B. ==. 
 1−− 2 1 1 2− 1
 x−4 y − 1 z − 2 x−4 y + 1 z − 2
 C. ==. D. ==. 
 1−− 2 1 1−− 2 1
 Oxyz
 xt=+1
Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : yt = − và điểm A(1;3;− 1) . Viết 
 zt= −1 +
 phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng . 
 x−1 y − 3 z + 1 x−1 y − 3 z + 1
 A. ==. B. ==. 
 2−− 1 1 1−− 2 1
 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3 Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ 
 x−1 y − 3 z + 1 x−1 y − 3 z + 1
 C. ==. D. ==. 
 1 2 1 −−1 2 1
Câu 16: Trong không gian , cho OE=5 i + 4 j − 2 k , OF = j − 3 k . Đường thẳng đi qua hai điểm E 
 và F có phương trình là 
 xt= 5 x = 5 xt= 5 xt=−5
 A. yt=+13. B. yt=+4 . C. yt=+13. D. yt=+13. 
 zt= −3 + zt= −23 − zt= −3 − zt= −3 +
Câu 17: Trong không gian , cho hai điểm M (1;0;1) và N(3;2;− 1) . Đường thẳng MN có phương 
 trình là 
 xt=+12 xt=+1 xt=−1 xt=+1
 A. yt= 2 . B. yt= . C. yt= . D. yt= . 
 zt=+1 zt=+1 zt=+1 zt=−1
Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với 
 ABC(1;− 2;1) ,( − 2;2;1) ,( 1; − 2;2) . Đường phân giác trong của góc A có một véctơ chỉ phương 
 u(3; a ; b) . Tính ab− . 
 A. 1. B. −9 . C. −1. D. 9 . 
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;7;0) , B(3;0;3) . Phương trình đường 
 phân giác trong của góc AOB của tam giác AOB là 
 x y z x y z x y z x y z
 A. ==. B. ==. C. ==. D. ==. 
 453 3 5 7 675 5 7 4
Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm AB(1;2;3) ,( 3;4;5) và mặt phẳng
 (P) : x+ 2 y + 3 z − 14 = 0 . Gọi Δ là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng (P) . Gọi 
 HK, lần lượt là hình chiếu vuông góc của AB, trên Δ . Biết rằng khi AH= BK thì trung 
 điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là 
 xt=+4 xt=−4 xt=+4 xt=−4
 A. yt=−52. B. yt=+52. C. yt=−5 2 . D. yt=+5 2 . 
 z =1 zt= zt= z =1
Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm ABC(2,−− 2,3) ;( 1,3,4) ;( 3, 1,4) . Phương trình đường 
 phân giác góc BAC là. 
 x y+−21 z x−1 y + 6 z − 1
 A. ==. B. ==. 
 1 4 2 1 4 2
 x−3 y + 2 z − 1 x−2 y + 2 z − 3
 C. ==. D. ==. 
 1 4Oxyz 2 1 4 2
Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(−1;2;0) , B (1;1;1) , C (2;− 3;2) . Tập hợp tất cả các 
 điểm M cách đều ba điểm A , B , C là một đường thẳng d . Phương trình tham số của đường 
 thẳng là 
 4| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh 
 xt= −83 − xt= −83 + xt= −83 + xt= −83 +
 A. yt= . B. yt= . C. yt=− . D. yt= . 
 zt=+15 7 zt=−15 7 zt= −15 − 7 zt=+15 7
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm AB(3;3;1), (0;2;1) và mặt phẳng 
 ( ) :x+ y + z − 7 = 0. Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng () sao cho mọi điểm của d cách 
 đều hai điểm AB, có phương trình là 
 xt= 2 xt=− xt= xt=
 A. yt=−73. B. yt=−73. C. yt=+73. D. yt=−73. 
 zt= zt= 2 zt= 2 zt= 2
 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5