Đề thi chọn HSG cấp Thị xã môn Toán 9 - Phòng GD&ĐT Thị xã Sa Pa - Năm học 2019-2020 (Đề dự phòng - Kèm hướng dẫn chấm)

 PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ 
 THỊ XÃ SA PA NĂM HỌC: 2019 - 2020
 ĐỀ DỰ PHÒNG MÔN: TOÁN 9
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 (Đề thi gồm 01trang,05 câu)
 Ngày thi: 04/01/2020
 Câu 1 (4,0 điểm): 
 n
 a) Cho n là số nguyên.Chứng minh rằng: Biểu thức M = 22 4n 16 chia 
hết cho 3.
 b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 2y2 xy x 2y 5 0
 Câu 2 (6,0 điểm): 
 1 3 2
 2.1. Cho biểu thức: A , với x 0 ;
 x 1 x x 1 x x 1
 a) Rút gọn A;
 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.
 2.2. Giải phương trình: x 2 1 2 x 1 
 x y m 1
 2.3. Cho hệ phương trình: , với m là tham số. 
 2x 3y m 3
 Tìm m để P = x2 8y đạt giá trị nhỏ nhất
 Câu 3 (4,0 điểm): 
 1 1 1 
 3.1. Cho x, y, x > 0. Chứng minh bất đẳng thức: x y z 9.
 x y z 
 3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình:
 mx 2 3m y 1 m (m là tham số). 
 a. Tìm tọa độ điểm cố định mà họ đường thẳng (d) luôn đi qua;
 b. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
 Câu 4 (5,0 điểm): 
 Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d (B nằm giữa A và C). 
Vẽ dường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường 
thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I 
là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại P và Q (P nằm giữa 
A và O), BC cắt MN tại K.
 a) Chứng minh bốn điểm O, M, N, I nằm trên một đường tròn;
 b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi;
 c) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt 
đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
 Câu 5 (1,0 điểm): 
 Cho tam giác vuông ABC có các cạnh AB = 3, AC = 4, BC = 5. Xét hình 
chữ nhật MNPQ sao cho M, N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh 
AB. Hãy xác định kích thước của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất. ---------- Hết ----------