Đề thi chọn HSG cấp Thị xã môn Toán 9 - Phòng GD&ĐT Thị xã Sa Pa - Năm học 2019-2020 (Đề chính thức - Kèm hướng dẫn chấm)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ
 THỊ XÃ SA PA LỚP 9, NĂM HỌC 2019 - 2020
 Môn thi: Toán
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
 (Đề thi gồm có 01 trang,05 câu)
 Ngày thi: 04/01/2020
 Câu 1. (2,0 điểm): 
 a) Tìm số tự nhiên n để A = n2012 + n2002 + 1 là số nguyên tố.
 b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn x 2 2y 2 2xy y 2 .
 Câu 2. (4,0 điểm):
 x 2 1 4 x
 Cho biểu thức: P .
 x x 1 x 1 3
 a) Rút gọn P;
 8
 b) Tìm các giá trị của x để P ;
 9
 c) Tìm giá trị lớn nhất của P, giá trị nhỏ nhất của P.
 m 1 x y 3m 4
 Câu 3. (4,0 điểm): Cho hệ phương trình với tham số m: 
 x m 1 y m
 a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m;
 b) Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của hệ phương trình là các số nguyên;
 c) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất.
 Câu 4. (4,0 điểm):
 4.1: Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671. 
 x y z 1
 Chứng minh rằng: 
 x2 yz 2013 y2 zx 2013 z2 xy 2013 x y z
 2(1 m) 2
 4.2: Cho đường thẳng (d) có phương trình: y .x (với m tham số, m 2 ).
 m 2 m 2
 a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua; 
 b) Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. 
 Câu 5. (6,0 điểm):
 Đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn 
 tâm O khác A,B. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP 
 vuông góc với AB(P AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q AE).
 a) Chứng minh rằng: bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác 
 APMQ là hình chữ nhật;
 b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng;
 c) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với MPB và 
 K là trung điểm của MP;
 d) Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để 
 hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.
 --------Hết--------
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.