Đề thi chọn HSG cấp Huyện môn Toán 8 - Phòng GD&ĐT Sa Pa - Năm học 2012-2013 (Đề 2 - Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN SA PA KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN THCS
 Năm học: 2012 - 2013
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN 8
 (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề)
 (Đề thi có 01 trang, 06 câu)
 x 1 1 2 x 3 2x 2
 Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: A = 1 + : 
 x 3 1 x x 2 1 x 1 x 3 x 2 x
 a. Rút gọn A.
 b. Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
 Bài 2: (2,0 điểm)
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
 A = x 2
 x 3 x 2 x 2
 Bài 3: (2,0 điểm)
 Tìm các số a, b, c sao cho :
 Đa thức x4 + ax + b chia hết cho (x2 - 4)
 Bài 4: (4,0 điểm)
 x +1 x + 2 x + 3 x + 4
 a. Giải phương trình: + = +
 9 8 7 6
 b. Tìm x biết:
 2 2
 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49
 Bài 5: (6,0 điểm)
 Cho tam giác ABC ( AB > AC ) Kẻ đường cao BM; CN của tam giác. 
 Chứng minh rằng:
 a. ABM đồng dạng ACN
 b. Góc AMN bằng góc ABC
 c. Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; 
 F là trung điểm của AK. 
 Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.
 Bài 6: (2,0 điểm)
 Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 x.y + x + y ( với mọi x ;y)
 .........................Hết.........................
 Giám thị coi thi không giải thích gì thêm PHÒNG GD&ĐT HUYỆN SA PA ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP 
 HUYỆN
 Năm học: 2012 – 2013
 Môn thi: TOÁN 8
 ( Đáp án – thang điểm gồm có: 03 trang)
 Câu 1( 4đ)
a. (2,0đ)
 x 1 1 2 x 3 2x 2
A= 1 + : 
 x 3 1 x x 2 1 x 1 x 3 x 2 x
 x 1 x 1 2 x 2 x 1 x 2 x 1
=1 2 
 x 1 x x 1 x x 2 0,5
(Điều kiện: x 0;-1; 2) 0,5
 2x2 4x x2 x 1
 1 
 x 1 x2 x 1 x x 2 
 0,5
 2x x 2 x2 x 1
 1 
 x 1 x2 x 1 x x 2 
 2 x 1
 1 
 x 1 x 1 0,5
b. ( 2,0 đ)
 x 1 2
 A 1 
 x 1 x 1 0,25
 2
Để A Z Z
 x 1
 x + 1 Ư(2) = 2; 1;1;2 0,5
Với x 1 2 x 3 ( Thỏa mãn) 0,25
Với x 1 1 x 2 ( Thỏa mãn) 0,25
Với x 1 1 x 0 ( Loại) 0,25
Với x 1 2 x 3 ( Thỏa mãn) 0,25
Vậy x 3; 2;3 thì A nhận giá trị nguyên 0,25
 Câu 2. (2,0 đ)
 x 2 1 1
Ta có A = 2 2 
 (x x 1)(x 2) x x 1 1 2 3
 (x ) 
 2 4 0,5
 1 2 3
 Vậy Amax [ ( x+ ) ] min
 2 4
 0,5 1 1
 x+ = 0 x = - 
 2 2
 0,5
 4
Amax là khi x = -1/2
 3 0,5
 Câu 3( 2,0đ)
Đặt: f (x) x4 ax b; g(x)=x2 4 x 2 x 2 
Để f (x)g(x) thì f (x)(x 2) và f (x)(x 2) . 
Theo định lí Bơzu thì: 0,25
 f (2) 0
 f ( 2) 0 0,25
 4
 2 2a b 0
 4
 2 2a b 0 0,50
 2a b 16
 2a b 16 0,50
 a 0
 b 16 0,50
 Câu 4. (4,0 đ)
a. ( 2,0 đ) 
 x +1 x + 2 x + 3 x + 4
 + = +
 9 8 7 6
 x +1 x + 2 x + 3 x + 4 
 +1 1 = 1 + 1 
 9 8 7 6 
 0,50
 x +10 x +10 x +10 x +10
 + = +
 9 8 7 6 0,50
 1 1 1 1 
 x +10 + 0
 9 8 7 6 
 37 
 x +10 . 0
 504 0,50
 x +10 0
 x 10
Vậy S = 10 0,50
b. ( 2,0đ)
 2 2
 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49
ĐKXĐ: x 2009; x 2010. 0,25 Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức:
 2
 a 1 a 1 a a 2 19
 0,50
 a 1 2 a 1 a a 2 49
 a 2 a 1 19
 0,25
 3a 2 3a 1 49
 49a 2 49a 49 57a 2 57a 19 8a 2 8a 30 0 0,25
 2
 2a 1 42 0 2a 3 2a 5 0 0,25
 3
 a 
 2
 (thoả mãn) 0,50
 5
 a 
 2
 Câu 5. (6điểm)
 ABC(AB AC)
GT BM  AC;CN  AB 
 BK AC; EB EC; FA FK
 C· Ax B· Ax
 KL a. ABM : ACN
 b. ·AMN ·ABC
 c. EF//Ax
 0,50
a. Chứng minh ABM đồng dạng CAN 1,50
 AB AM
b. Từ câu a suy ra: AMN đồng dạng ABC
 AC AN
 · ·
 AMN ABC ( hai góc tương ứng) 2,0
c. Kẻ Cy // AB; Cy  Ax H
 · ·
 BAH CHA( so le trong, AB // CH) 0,50
màC· AH B· AH ( do Ax là tia phân giác)
 C· HA C· AH
 CAH cân tại C 0,50
 CH CA
Mà CA= BK ( gt)
 CH BK và CH / /BK
Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành 
 E là trung điểm KH 0,50 Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của KHA . 
Do đó EF // AH hay EF // Ax. 0,50
 Câu 6. (2 điểm)
x2+y2+1 x. y+x+y 
 x2+y2+1 - x. y-x-y 0 0,50
 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y 0 0,50
 ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y) 0 0,50
 (x-y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2 0
Bất đẳng thức luôn luôn đúng. 0,50
 Chú ý: HS giải bằng cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa