Chuyên đề bồi dưỡng lí thuyết Vật Lí 10

 Chương 1: ĐỘNG HỌC
1.1. Sự chuyển động của vật, hệ quy chiếu, vận tốc, gia tốc, vận tốc và gia tốc trong chuyển động tròn.
1.1.1. Chuyển động và hệ quy chiếu.
 a.Chuyển động cơ.
 Chuyển động cơ học là sự thay đổi vị trí giữa các vật hoặc giữa các phần của vật theo thời gian.
 b.Quỹ đạo: Là tập hợp tất cả các vị trí mà vật có trong không gian.
 c.Hệ quy chiếu
 Để nghiên cứu chuyển động của vật thể, người ta chọn những vật thể khác nào đó làm mốc mà ta quy ước là đứng yên. Hệ toạ 
độ gắn liền với vật làm mốc để xác định vị trí của vật thể trong không gian và chiếc đồng hồ gắn với hệ này để chỉ thời gian gọi là hệ quy 
chiếu.
 d.Tính tương đối của chuyển động.
 Một vật sẽ là chuyển động hay đứng yên tuỳ thuộc vào hệ quy chiếu mà ta chọn. Vật có thể chuyển động so với hệ quy chiếu 
này nhưng lại đứng yên so với hệ quy chiếu khác.
 e.Chất điểm: Một vật thể được coi là chất điểm nếu kích thước của vật không đáng kể so với khoảng cách mà vật đó đi qua trong 
chuyển động đang xét. 
 f.Hệ chất điểm: Là tập hợp hai hay nhiều chất điểm mà khoảng cách giữa các chất điểm là không đổi hoặc chuyển động của chất 
điểm này phụ thuộc các chất điểm khác.
1.1.2. Phương trình chuyển động.
 a.Phương trình chuyển động.
 Phương trình chuyển động là phương 
trình mô tả sự phụ thuộc của đại lượng cho ta xác định vị trí của vật với thời gian.
 Để xác định vị trí của chất điểm, người ta thường gắn vào hệ quy chiếu một hệ toạ độ, 
chẳng hạn hệ toạ độ Descartes Oxyz.
 Vị trí M của chất điểm được xác định bằng các toạ độ của nó. Với hệ toạ độ Descartes 
các toạ độ này là x,y,z. Bán kính véc tơ r OM cũng có các toạ độ x,y,z trên ba trục toạ độ 
Ox,Oy,Oz ( hình vẽ ) và có mối liên hệ: r xi y j zk .
 Khi chất điểm chuyển động, vị trí M theo thời gian, các toạ độ x,y,z của M là những 
hàm của thời gian t:
 x f (t)
 y g(t) (1.1)
 z h(t) 
 Do đó bán kính véc tơ r của chất điểm cũng là một hàm của thời gian t: r r(t) (1.2)
Các phương trình (1.1) và (1.2) gọi là phương trình chuyển động của chất điểm.
 b.Phương trình quỹ đạo.
 Biết được các phương trình chuyển động của chất điểm ta có thể tìm quỹ đạo của nó: Thật vậy khử thời gian t trong các phương 
trình chuyển động ta tìm được phương trình quỹ đạo.
 c.Hoành độ cong.
 Giả sử quỹ đạo của chất điểm là một đường cong (C) ( hình vẽ ). Trên đường cong (C) ta chọn một điểm A nào đó là gốc và một 
chiều dương theo chiều chuyển động của chất điểm. Khi đó tại mỗi thời điểm t, vị trí M của chất điểm trên đường cong (C) được xác định 
 
bởi trị đại số của cung , kí hiệu là: AM s
 Người ta gọi s là hoành độ cong của chất điểm chuyển động. Khi chất điểm chuyển động, s là hàm của thời gian t, tức là:
 s s(t) (1.3) 
 *Véc tơ vi phân hoành độ cong d s .
 -Phương trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm đang xét.
 -Hướng theo chiueef chuyển động.
 -Độ lớn bằng vi phân hoành độ cong ds.
1.1.3. Vận tốc, vectơ vận tốc, vectơ vận tốc trong hệ toạ độ đề các .
 a.Định nghĩa.
 Vận tốc là đại lượng đặc trưng cho sự chuyển động nhanh hay chậm của chuyển động.
 b.Vận tốc trung bình và vận tốc tức thời.
 *Vận tốc trung bình
 Xét chuyển động của chất điểm trên đường cong C
 Trên C chọn gốc O và một chiều (+)
 t0=0 tại vị trí M trùng O 
 Tại thời điểm t chất điểm ở M có s= OM
 Tại thời điểm t’ chất điểm ở M’ có s’= OM '
 Trong khoảng thời gian t t' t chất điểm di chuyển được quãng đường s s' s
 s
 Vận tốc trung bình: v (1.4)
 tb t
 *Vận tốc tức thời 
 1 s
 Theo (1.4) khi M’ càng gần M thì v lim (1.5)
 t 0 t
 ds
 Hay v (1.6)
 dt
 Vậy vận tốc của chất điểm có giá trị bằng đạo hàm bậc nhất của quãng đường theo thời gian
 - Nếu chất điểm dịch chuyển theo chiều (+) của quỹ đạo thì v>0
 - Nếu chất điểm dịch chuyển theo chiều (-) của quỹ đạo thì v<0
 c.Véc tơ vận tốc.
 -Đặc trưng đầy đủ phương, chiều chuyển động và độ nhanh chậm của chuyển động
 -Tại một điểm trên quỹ đạo là một vectơ v có phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm đó, có chiều theo chiều chuyển động của 
chất điểm có trị số bằng giá trị tuyệt đối của vận tốc tại điểm đó. Do đó ta có thể viết lại (1.6) như sau:
 d s
 v ( 1.7) 
 dt
 d.Véc tơ vận tốc trong hệ toạ độ đề các.
 -Giả thiết ở thời điểm t: M OM r 
 -Giả thiết ở thời điểm t+dt: M’ OM ' r dr
 Khi dt << MM ' OM ' OM dr ds
 dr
 Nghĩa là (1.6) có thể viết thành v (1.8)
 dt
 dx dy dz 
 Vậy: v bằng đạo hàm của bán kính véc tơ đối với thời gian: v vx ;vy ;vz  (1.9)
 dt dt dt 
 2 2 2
 2 2 2 dx dy dz 
 Độ lớn vận tốc được tính theo công thức: v vx vy vz (1.10)
 dt dt dt 
1.1.4. Gia tốc, vectơ gia tốc, vectơ gia tốc trong hệ toạ độ đề các, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến.
 a.Định nghĩa
 Gia tốc là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của véc tơ vận tốc.
 b.Biểu thức
 *Gia tốc trung bình.
 Xét chất điểm M chuyển động trên quỹ đạo là đường cong (C) tại thời điểm t có vận tốc v , tại thời điểm t’=t+ t nó có vận tốc 
v' v v . Lượng biến thiên của véc tơ vận tốc trong khoảng thời gian t là: v v' v . Véc tơ gia tốc trung bình bằng độ biến 
thiên trung bình của véc tơ vận tốc trong một đơn vị thời gian:
 v
 a (1.11)
 tb t
 v d v d 2 r
 *Gia tốc tức thời: a lim (1.12)
 t 0 t dt dt 2
 Gia tốc chuyển động của chất điểm là một véc tơ bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ vận tốc, hay bằng đạo hàm bậc 2 
theo thời gian của bán kính véc tơ r .
 2 2 2 
 dv dvy dv dx dy dz
 Trong hệ toạ độ Đê các ta viết được: a x i j z k i j k (1.13)
 dt dt dt dt 2 dt 2 dt 2
 2 2 2
 dv d x dv y d y dv d z
Các hình chiếu của a trên các trục x,y,z bằng: a x ; a ; a z (1.14)
 x dt dt 2 y dt dt 2 z dt dt 2
 Độ lớn của gia tốc được tính theo công thức: 
 2 2 2
 d 2 x d 2 y d 2 z 
 a a2 a2 a2 (1.15)
 x y z 2 2 2 
 dt dt dt 
 c.Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến
 Tại thời điểm t điểm M có vận tốc: v
     
 Tại thời điểm t’=t+ t điểm M có vận tốc v' v v v v ' v M ' A' MA AB .
     
 Trên MA kẻ MC sao cho MC v ' , ta có: v AB AC CB
 2     
 v AC CB AC CB
Vậy : a lim lim lim lim (1.16)
 t 0 t t 0 t t 0 t t 0 t
 *Gia tốc tiếp tuyến:at  
  AC
 Xét thành phần thứ nhất của (1.16), ta có: at lim
 t 0
   t
 Vì AC có phương tiếp tuyến với quỹ đạo lại M nên at cũng có phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại M nên nó được gọi là gia 
tốc tiếp tuyến.
 AC MC MA v ' v v
 Độ lớn: at lim lim lim lim
 t 0 t t 0 t t 0 t t 0 t
 dv d 2s
 Vậy: a (1.17)
 t dt dt 2
*Kết luận: a đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về giá trị vectơ này.
 - Có phương trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo tại M.
 - Có chiều là chiều chuyển động khi v tăng và chiều ngược lại khi v giảm.
 - Có độ lớn bằng đạo hàm độ lớn vận tốc theo thời gian.
 *Gia tốc pháp tuyến: an  
  CB
 Xét thành phần thứ hai của (1.16), ta có: an lim
 t 0 t
       
 Trong tam giác cân CMB ta có: MCB . Khi t 0 thì  0 , nghĩa là MCB CB  MA nên a 
 2 2 2 n
trùng với pháp tuyến của quỹ đạo tại M và được gọi là gia tốc pháp tuyến.
 
 Mặt khác ta có: CB 2MC.sin . Khi t 0 thì  rất nhỏ, do đó:
 2
  s v '. s
 CB 2MC. 2v '. 
 2 2r r
 CB v '. s 1 s 1
 Vậy độ lớn của gia tốc pháp tuyến là: an lim lim  lim v '. lim v v
 t 0 t t 0 r. t r t 0 t 0 t r
 v2
 Hay a (1.18)
 n r
 *Vậy: an đặc trưng cho sự biến thiên về phương của vectơ vận tốc, an có:
 + Phương trùng với pháp tuyến của quỹ đạo tại M
 + Có chiều hướng về tâm của quỹ đạo
 v2
 + Có độ lớn a 
 n r
 *Gia tốc toàn phần: a at an (1.19)
 + an=0 : v không thay đổi phương: chuyển động thẳng
 + a =0 : v không thay đổi chiều và giá trị: chuyển động cong đều.
 + a= 0 : v không thay đổi phương chiều và giá trị: chuyển động thẳng đều.
1.2. Một vài chuyển động đơn giản.
1.2.1. Chuyển động thẳng biến đổi đều.
 dv
 Là chuyển động có quỹ đạo thẳng và gia tốc a không đổi: a 0 , Do đó: a a const dv adt
 n  dt
 v t
 dv a.dt v v at (1.20)
 0
 v0 0
 + Chuyển động chậm dần đều: a.v<0
 + Chuyển động nhanh dần đều: a.v>0
 ds
 Phương trình quãng đường: v ds vdt (v at)dt 
 dt 0
 3 at 2
 Lấy tích phân hai vế ta có: s v t (1.21)
 2 o
 2 2
 Khử thời gian t trong (1.20) ta được: v v0 2as (1.22)
1.2.2. Chuyển động tròn.
 Trong chuyển động, nếu bán kính cong của quỹ đạo không thay đổi, chuyển động đó gọi là chuyển động tròn. Trong chuyển động 
tròn, do có sự thay đổi của bán kính véc tơ r OM , ngoài các đại lượng v, a, at , an người ta còn đưa ra các đại lượng vận tốc góc và 
gia tốc góc.
 a.Vận tốc góc.
 Giả sử chất điểm M chuyển động trên quỹ đạo tròn tâm O, bán kính R. Trong khoảng thời 
gian t t ' t chất điểm đi được quãng đường s bằng cung MM’ ứng với góc quay 
 
  MOM ' của bán kính R = OM ( hình vẽ ).
 
 *Vận tốc góc trung bình :  (1.23)
 tb t
  d
 *Vận tốc góc tức thời :  lim  (1.24)
 t 0 t dt
 Vậy: Vận tốc góc bằng đạo hàm góc quay theo thời gian.
 Đơn vị của vận tốc góc là rad/s
 *Trong chuyển động tròn đều thì  const , người ta đưa ra khái nệm chu kì và tần số.
 2 
 +Chu kì T: Chu kì là thời gian cần thiết để chất điểm đi được một vòng. T 
 
 +Tần số f: Tần số là số vòng quay của chất điểm trong một đơn vị thời gian :
  1
 f 
 2 T
 +Đơn vị của chu kì và tần số là giây (s) và héc (Hz).
 *Véc tơ vận tốc góc. 
 Véc tơ vận tốc góc  là véc tơ có độ lớn  được định nghĩa ở (1.24), nằm trên trục của vòng tròn 
quỹ đạo, chiều tuân theo quy tắc vặn nút chai: Nếu quay cái vặn nút chai theo chiều chuyển động của chất điểm thì chiều tiến của cái vặn 
nút chai chỉ chiều của véc tơ  .
  
 *Liên hệ giữa v và  : v R
   
 -Dạng véc tơ: v   R
 2
 *Liên hệ giữa an và : an  .R
 b.Gia tốc góc.
 Giả sử trong khoảng thời gian t t ' t vận tốc góc của chất điểm chuyển động tròn biến thiên một lượng   '  .
 
 *Gia tốc góc trung bình :  (1.25)
 tb t
  d d 2
 *Gia tốc góc tức thời :  lim  (1.26)
 t 0 t dt dt 2
 Vậy: Gia tốc góc bằng đạo hàm vận tốc góc theo thời gian và bằng đoạ hàm bậc 
hai của góc quay theo thời gian.
 Đơn vị của gia tốc góc là rad/s2.
 +Khi  0 ,  tăng, chuyển động tròn nhanh dần.
 +Khi  0 ,  giảm, chuyển động tròn chậm dần.
 +Khi  0 ,  không đổi, chuyển động tròn đều.
 +Khi  const , chuyển động tròn thay đổi đều, ta có:
  0 t 
 t 2 
  0t  (1.27)
 2 
 2 2 
  0 2 
 *Véc tơ gia tốc góc.  
 Véc tơ gia tốc góc  là véc tơ có trị số xác định theo (1.26), nằm trên trục của vòng tròn quỹ đạo, cùng chiều với  nếu  
  
   d
tăng và ngược chiều với  nếu  giảm ( hình vẽ ). Theo định nghĩa này ta có thể viết:  (1.28)
 dt
 4   
 *Liên hệ giữa a và  : a  R
 t  t  
 Dạng véc tơ: at   R
1.2.3. Chuyển động với gia tốc không đổi.
 Nhiều khi ta phải xét chuyển động của một vật trong trường lực. Chẳng hạn một electron bay vào trong một điện trường hoặc từ 
trường với vận tốc ban đầu v0. Sau đây ta xét chuyển động của vật trong trọng trường.
 Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất với vận tốc v0 hợp với phương nằm ngang một góc , bỏ qua sức cản của không khí.
 a.Viết phương trình chuyển động của vật.
 b.Tìm dạng quỹ đạo của vật.
 c.Tìm thời gian kể từ lúc bắn đến lúc vật chạm đất.
 d.Xác định tầm bay xa của vật.
 e.Tìm độ cao lớn nhất mà viên đạn đạt tới.
 f.Xác định bán kính cong của quỹ đạo của vật tại điểm cao nhất.
 Bài giải
 Ngay sau khi bắn lực tác dụng vào vật là trọng lực luôn thẳng đứng hướng xuống, nên gia tốc của vật trong suốt quá trình 
chuyển động là a g luôn thẳng đứng hướng xuống. Chọn trục toạ độ Oxy, gốc O tại vị trí bắn, Ox nằm ngang, Oy thẳng hướng lên ( 
hình vẽ ).
 a.Phương trình chuyển động.
 Ta phân tích chuyển động của vật thành hai thành phần trên trục Ox và Oy. Ta có: 
 dvx
 0
 ax 0 dt vx C1
a 
 ay g dvy vy gt C2
 g 
 dt
 C1 vx (t 0) v0 cos vx v0 cos 
Với (1.29)
 C2 vy (t 0) v0 sin vy v0 sin gt
 dx
 v v cos x v0t cos 
 x dt 0 
 Lại có: Vậy gt 2 (1.30)
 dy
 y v0t sin 
 vy v0 sin gt 2
 dt
 b.Phương trình quỹ đạo.
 g 2
 Từ (1.30) khử t ta được: y x tan 2 2 x (1.31)
 2v0 cos 
 Vậy quỹ đạo của vật là một parabol, có bề lõm quay xuống ( hình vẽ ).
 c.Thời gian chuyển động.
 t 0(loai)
 g 
 Khi chạm đất thì y = 0, từ (1.30) ta có: v0 sin t t 0 2v0 sin (1.32)
 2 t 
 g
 d.Độ cao cực đại.
 Khi đạt tới điểm cao nhất P, vận tốc của viên đạn theo phương Oy bằng không. Từ (1.29) ta được:
 v sin v sin g.v2 sin2 v2 sin2 
 v v sin gt 0 t 0 y v sin  0 0 y 0 (1.33)
 y 0 P P g Max 0 g 2g 2 Max 2g
 e.Tầm bay xa.
 Khi chạm đất viên đạn cách gốc O một đoạn L = xmax , khi đó y = 0. 
 v2 sin 2 
 Từ (1.30) và (1.32) ta được: L x 0 (1.34)
 Max g
 f.Bán kính cong của quỹ đạo tại điểm cao nhất.
 v2
 Ở điểm cao nhất thì a a g;v 0;v v a g x
 n y x n R
 v2 cos2 
 Từ đó suy ra: R 0 (1.35)
 g
 5 Chương II: ĐỘNG LỰC HỌC
2.1. Các định luật Newton.
2.1.1. Định luật I Newtơn.
 Khi một chất điểm cô lập (không chịu một tác động nào từ bên ngoài), nếu đang đứng yên nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang 
chuyển động thì chuyển động của nó là thẳng đều.
 Định luật quán tính: Một chất điểm cô lập bảo toàn trạng thái chuyển động của nó.
2.1.2. Định luật II Newtơn.  
 a.Chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của các lực có tổng hợp  F 0 là một chuyển động có gia tốc.
 b.Gia tốc chuyển động của chất điểm tỉ lệ với tổng hợp lực tác dụng F và tỉ lệ nghịch với khối lượng của chất điểm ấy: 
 F
a k  
 m
 F
 Nếu k 1 a  (2.1)
 m
 Phương trình Newton:  F m a (2.2)
 + Với định luật Newton I:  F 0 a 0 v const
 F
 + Với định luật Newton II: F 0 a 0
  m
2.1.3. Định luật III Newtơn.
 Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B một lực F thì chất điểm B cũng tác dụng lên chất điểm A một lực F' , 2 lực F và 
F' tồn tại đồng thời cùng phương, ngược chiều và cùng cường độ.     
 Nói cách khác tổng hình học các lực tương tác giữa 2 chất điểm bằng không: F F ' hay F F ' 0 (2.3)
 Chú ý: ở công thức (1.25) tổng 2 lực F và F' bằng không nhưng tác dụng của chúng không khử nhau vì điểm đặt của chúng khác 
nhau.
 Tổng các nội lực của một hệ chất điểm cô lập (hệ kín) bằng không.
 ❖ Phương trình cơ bản của cơ học chất điểm:m a  F
 ❖Hệ quy chiếu quán tính: Nghiệm đúng phương trình m a F
 ❖ Lực tác dụng lên chất điểm trong chuyển động cong.
 a at an
 m a m at m an 
 F Ft Fn
 dv
 Lực tiếp tuyến F m 
 t dt
 v2
 Lực pháp tuyến F m
 n R
 *Một số loại lực cơ học
 -Trọng lực.
 Trọng lực là lực hút của Trái đất  tác dụng lên vật, có phương vuông góc với mặt đất, hướng xuống dưới.
 Biểu thức của trọng lực: p mg .
 Độ lớn của trọng lực là trọng lượng.
 -Lực căng. 
 Lực căng xuất hiện khi hai đầu của vật bị kéo căng, lực này có đặc điểm giống với lực đàn hồi của lò xo khi vi dãn.
 -Lực ma sát.
 +Lực ma sát trượt:  Xuất hiện khi một vật trượt trên mặt một vật khác và cản lại chuyển động trượt này.
 Ta có: R N fms , trong đó N là phản lực pháp tuyến, còn thành phần fms gọi là lực ma sát trượt, có độ lớn: fms N . 
Với  là hệ số ma sát trượt ( <1), nó phụ thuộc vào bản chất và tình trạng của mặt tiếp xúc.
 +Lực ma sát lăn: Xuất hiện khi một vật lăn trên mặt một vật khác. Lực ma sát lăn cũng tỉ lệ với áp lực lên mặt đỡ, nhưng hệ số 
ma sát lăn nhỏ hơn hệ số ma sát trượt nhiều.
 6 +Lực ma sát nghỉ: Xuất hiện khi một vật đứng yên mặt một vật khác và có xu hướng chuyển động. Lực ma sát nghỉ có độ lớn 
bằng độ lớn của ngoại lực tác dụng vào vật chùng nào vật còn chưa chuyển động. Lực ma sát nghỉ có giá trị cực đại, giá trị này còn lớn 
hơn cả lực ma sát trượt.
 +Lực ma sát nhớt: Xuất hiện ở mặt hai lớp chất lưu chuyển động tương đối so với nhau.
 fms rv với r là hệ số ma sát nhớt.
 Nếu vật có dạng hình cầu, đường kính d, chuyển động với vận tốc v trong môi trường thì: fms 3 ..d.v
2.2. Các định lý về động lượng, mômen động lượng.
2.2.1. Động lượng và các định lý về động lượng.  
 Giả sử một chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của một lực F (hay nhiều lực). Theo định luật II Newton, ta có:
 dv d(mv) 
 ma F m F F d(mv) Fdt (2.4)
 dt dt
 Đặt K mv : gọi là véc tơ động lượng
 Động lượng là đại lượng véc tơ được xác định bằng tích số giữa khối lượng và véc tơ vận tốc: K mv (2.5)
 d K
 Thay (2.5) vào (2.4) ta có F (2.6)
 dt
 *Định lý 1: Đạo hàm động lượng của một chất điểm đối với thời gian có giá trị bằng lực (hay tổng hợp các lực) tác dụng lên 
chất điểm đó.
      K2  t2  
 Từ (2.6) ta có thể viết: d K Fdt K K K d K Fdt (2.7)
 2 1 
 K1 t1
 *Định lý 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó có giá trị bằng xung lượng của lực 
tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó. 
 K
 Nếu F const thì F (2.8)
 t
 Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong đơn vị thời gian có giá trị bằng lực tác dụng lên chất điểm đó.
 *ý nghĩa của động lượng và xung lượng của lực.
 - Ý nghĩa của động lượng: Khi khảo sát về mặt động lực học chất điểm ta không thể chỉ xét vận tốc mà phải đề cập đến khối 
lượng. Nghĩa là vận tốc không đặc trưng cho chuyển động về phương diện động lực học. Do đó mà động lượng mới đặc trưng cho 
chuyển động về phương diện động lực học. Khi hai vật va chạm đàn hồi với nhau thì kết quả va chạm được thể hiện bằng động lượng của 
các vật. Vậy động lượng đặc trưng cho khả năng truyền chuyển động.
 - Ý nghĩa của xung lượng: Về mặt động lực học thì kết quả tác dụng của lực không những phụ thuộc cường độ lực tác dụng mà 
còn phụ thuộc thời gian tác dụng của lực. Nếu cùng một lực tác dụng nhưng thời gian tác dụng khác nhau thì kết quả tác dụng sẽ khác 
nhau.
2.2.2.Mô men động lượng, định lý về mô men động lượng.
 a.Khái niệm mômen lực và mômen động lượng đối với một điểm.
 +Mômen lực:     
 Gọi r là véc tơ nối gốc O với điểm đặt của lực F , khi đó mô men lực F đối với điểm O là: M r  F (2.9)
 +Mô men động lượng: L r K r m v (2.10)
 b.Định lý về mômen động lượng.
 Giả sử gốc O đứng yên, lấy vi phân hai vế biểu thức (2.13) theo thời gian ta nhận được: 
 d L dr  d K
  K r  (2.11) 
 dt dt dt
   
 dr dr  d K  d K   
 Vì O đứng yên nên v , do đó  K 0 , còn F do đó r  r  F M . 
 dt dt dt dt
  
 d L  
 Khi đó (2.14) trở thành: M (2.12)
 dt
 *Định lí 1: Đạo hàm của mô men động lượng của chất điểm theo thời gian bằng mô men của ngoại lực tác dụng lên chất điểm 
đó.
      L2  t2  
 Từ (2.12) ta có: d L Mdt L L L d L Mdt (2.13)
 2 1 
 L1 t1
 *Định lí 2: Độ biến thiên mô men động lượng của chất điểm trong một khoảng thòi gian 
nào đó bằng xung lượng của mô men lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó.
2.3. Nguyên lý tương đối Galilê. 
2.3.1. Phép biến đổi Galilê.
 a.Không gian và thời gian trong cơ học cổ điển
 Ta xét hai hệ quy chiếu O và O’ gắn với hai hệ trục toạ độ Oxyz và O’x’y’z’. hệ O đứng 
yên, hệ O’ trượt dọc trục Ox đối với hệ O sao cho O ' x '  Ox,O ' y '  Oy,O ' z '  Oz . Ta gắn vào mỗi hệ một đồng hồ để chỉ 
 7 thời gian. Ta xét một chất điểm chuyển động trong hệ O, tại thời điểm t nó có toạ độ x,y,z. Các toạ độ không gian và thời gian tương ứng 
của chất điểm trong hệ O’ là x’,y’,z’ và t’.
 *Quan điểm của Newton:
 -Thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc hệ quy chiếu : t’ = t (2.14)
 -Vị trí không gian có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu. Do đó : chuyển động có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu.
 x x ' OO ', y y ', z z ' (2.18)
 -Khỏng cách giữa hai điểm của không gian có tính chất tuyệt đối không phụ thuộc hệ quy chiếu.
 b.Phép biến đổi Galileo.
 Ta xét chuyển động của chất điểm trong hệ O. Coi rằng thời điểm ban đầu O và O’ trùng nhau O’ chuyển động thẳng đều dọc 
theo trục Ox với vận tốc V. Khi đó: OO ' Vt .
 Theo (2.18), ta được: x x ' Vt, y y ', z z ',t t ' (2.15)
 Ngược lại: x ' x Vt, y ' y, z ' z,t ' t (2.16)
 Các công thức (2.19) và (2.20) được gọi là phép biến đổi Galileo.
2.3.2. Tổng hợp vận tốc và gia tốc.
 Ta xét hai hệ quy chiếu O và O’ gắn với hai hệ trục toạ độ Oxyz và O’x’y’z’. hệ O đứng 
yên, hệ O’ trượt dọc trục Ox đối với hệ O sao cho O ' x '  Ox,O ' y '  Oy,O ' z '  Oz . Với 
O là hệ quy chiếu quán tính đứng yên gọi là hệ quy chiếu tuyệt đối và O' là hệ quy chiếu tương đối.
 Vị trí của chất điểm đối với hai hệ O và O' xác định bởi vectơ bán kính r OM và 
r' OM '. Đặt R OO' , ta có hệ thức: r r' R (2.17)
 Lấy đạo hàm theo thời gian của (2.17), ta được:
 dr dr' dR dr' dR
 hay v v' V (2.18)
 dt dt dt dt' dt
 Vận tốc tuyệt đối của chất điểm bằng tổng vectơ của vận tốc tương đối của chất điểm đó và 
vận tốc theo.
 Lấy đạo hàm theo thời gian của (2.18), ta được:
 dv dv' dV dv' dV
 hay a a' A (2.19)
 dt dt dt dt' dt
 Gia tốc tuyệt đối của chất điểm bằng tổng vectơ của gia tốc tương đối của chất điểm đó và gia tốc theo.
2.3.3. Nguyên lý tương đối Galilê.
 Mọi hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều với hệ quy chiếu quán tính cũng là hệ quy chiếu quán tính.
 Nguyên lý: Các phương trình cơ học trong mọi hệ quy chiếu quán tính có dạng như nhau.
Các hiện tượng (định luật) cơ học xảy ra giống nhau trong các hệ quy chiếu quán tính.
2.3.4. Hệ quy chiếu không quán tính - lực quán tính.  
 Khi hệ O’ chuyển động có gia tốc so với hệ O ( A 0 ). Khi đó nhân hai vế của (2.24) với khối lượng m của chất điểm ta có:
   
 ma ma ' mA
   
 ma ' ma ( mA)
     
 Do O là hệ quán tính nên ma F , vì thế biểu thức cuối cùng được viết thành: ma ' F ( mA)
    
 Như vậy trong hệ O’ ngoài ngoại lực F tác dụng lên chất điểm còn có thêm một lực F mA tác dụng. Lực này được gọi là 
  qt
lực quán tính và luôn có chiều ngược chiều của véc tơ gia tốc A của hệ O’ đối với hệ O. Hệ O’ lúc này được gọi là hệ quy chiếu không 
quán tính.
 8 Chương III:CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN
3.1. Khối tâm, chuyển động của khối tâm.
3.1.1. Định nghĩa khối tâm
 Xét hệ 2 vật có khối lượng m1, m2 đặt tại các điểm M1 , M2 tương ứng trong trọng trường. Tổng 
hợp lực của hai trong lực tác dụng lên hai chất điểm đặt tại G thỏa mãn: 
 M G m
 1 2 m M G m M G 0
 M G m 1 1 2 2
 2 1   
 Ta đưa ra các véc tơ nối các chất điểm M1 , M2 đến G: M G, M G
   1 2
 Khi đó ta được: m1 M1G m2 M 2G 0 (3.1) 
 Điểm G được gọi là khối tâm của hệ hai chất điểm m1 và m2.
 Khối tâm của hệ n chất điểm có khối lượng m1 , m2 , . . . , mn là điểm G được xác định bởi đẳng thức véc tơ:
 m1 M1G m2 M 2G  mn M nG 0
 n
 Hay có thể viết:  mi M iG 0 (3.2)
 i 1
 *Tọa độ khối tâm đối với một gốc O.   
 Đối với chất điểm thứ i ta có: OG OM i M iG
 Nhân hai vế với mi rồi cộng vé theo vế các phương trình ta được:
 n  n  n  
 ( m1)OG  m1OM i  m1 M iG
 i 1 i 1 i 1
 n  n  
 ( m1)OG  m1OM i
 i 1 i 1
 n  
 m OM
   i i
 i 1
 Ta suy ra: OG n 
  mi
 i 1
 n  
 m r
       i i
 i 1
 Đặt OG R có ba toạ độ X,Y,Z; OM i ri có ba toạ độ x,y,z, ta có thể viết lại được: R n (3.3)
  mi
 i 1
 Chiếu (3.3) lên ban trục toạ độ ta được:
 n n n
  mi x  mi y  mi z
 i 1 i 1 i 1
 X n ,Y n , Z n (3.4)
  mi  mi  mi
 i 1 i 1 i 1
3.1.2. Vận tốc khối tâm.  
 n dr
   m i
  d R  d R  i dt
 Khi hệ chất điểm chuyển động, khối tâm có vận tốc V , vận tốc này có biểu thức: V i 1 trong đó 
 dt dt n
  mi
  i 1
 dr  
 i v là vận tốc của chất điểm thứ i.
 dt i
 n  
 m v
   i i
 i 1
 V n (3.5)
  mi
 i 1
 n  n   
 Trong đó là tổng động lượng của hệ.
  mi vi  Ki K
 i  1  i 1
 K mV (3.6)
 9 Tổng động lượng của cả hệ bằng động lượng của một chất điểm đặt tại khối tâm, có khối luợng bằng khối lượng của cả hệ, có vân 
tốc bằng vận tốc của khối tâm của hệ.
3.1.3. Phương trình chuyển động khối tâm.    
 Giả sử hệ có n chất điểm, các chất điểm lần lượt chịu tác dụng của các lực F , F ,, F và chuyển động với các gia tốc tương 
          1 2 n
ứng a ,a ,,a sao cho m a F ,m a F ,,m a F . Từ (3.5) ta tìm được gia tốc khối tâm:
 1 2 n 1 1 1  2 2 2 n n n
 n dv
  m i
 dV  i dt
 a i 1
 dt n
  mi
  i 1
  dv   
 Chú ý rằng a i ;m a F ta được:
 i dt i i i
 n  n  
 m a F
  i i  i n   n
 i 1 i 1
 với là tổng hợp ngoại lực tác dụng lên tất cả các chất điểm của hệ và 
 a n n  Fi F; mi m
 i 1 i 1
  mi  mi
 i 1 i 1
tổng khối lượng của hệ.  
 F  
 a hay F ma (3.7)
 m
 Khối tâm của hệ chuyển động như chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của hệ và chịu tác dụng của một lực bằng tổng hợp 
ngoại lực tác dụng lên hệ.
3.2. Các định luật bảo toàn.
3.2.1. Định luật bảo toàn động lượng.
 Coi vật rắn là một hệ vật cô lập gồm n chất điểm có khối lượng m1, m2....., mn giả sử F1 ,F2 ......, Fn là các ngoại lực và 
 ' ' '
F 1 ,F 2 ......, F n là các nội lực tác dụng lên mỗi chất điểm trong hệ vật. áp dụng định lý động lượng đối với mỗi chất điểm m 1, m2..., 
mn.
 d K d K d K
 1 F F '; 2 F F ';........... n F F '
 dt 1 1 dt 2 2 dt n n
 Cộng vế với vế của các phương trình này với nhau:
 n n n n
 d K d '
   Ki  Fi  F i 
 i 1 dt dt i 1 i 1 i 1
 n n
 Nếu hệ cô lập thì  Fi 0 và  F'i 0
 i 1 i 1
 d n n
  Ki = 0 hay  K i K1 K 2 .... K n const (3.8)
 dt i 1 i 1
 Hệ quả:
 n 
 * Nếu tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ triệt tiêu  Fi 0 thì tổng động lượng của hệ chất điểm không cô lập cũng được 
 i 1 
bảo toàn:
 n
  K i K1 K 2 .... K n const .
 i 1
 n
 * Nếu hình chiếu trên phương x nào đó của tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ vật triệt tiêu  Fix 0 , thì hình chiếu trên 
 i 1
 n
phương x của tổng động lượng của hệ vật không cô lập cũng được bảo toàn  Ki K1x K2x .... Knx const . 
 i 1
3.2.2. Định luật bảo toàn mô men động lượng. 
  n  n   
 Mô men động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O được định nghĩa như sau: .
 L  Li  ri  mi vi
    i 1 i 1
 2
 Khi hệ quay quanh một trục cố định thì Li Ii i miri i .
 10    n   
 Khi vật rắn quay quanh một trục , các chất điểm có cùng vận tốc góc . Do đó: 
 i  L  Ii  I
 i 1
 Trong phương trình cơ bản của độnglực học vật rắn quay quanh trục cố định, ta có: 
 d d I. d L
 I. M I. M M (3.9)
 dt dt dt
 Vậy: Đạo hàm theo thời gian của vectơ mômen động lượng của vật rắn quay quanh một trục cố định có giá trị bằng tổng 
mômen các ngoại lực tác dụng lên vật rắn đó.
 Từ (3.9) ta viết lại dL M.dt (3.10)
 Lấy tích phân 2 vế của (3.10) ta có:
 L2 t 2
 L L L d L Mdt (3.11)
 2 1 
 L1 t1
 Độ biến thiên vectơ mômen động lượng của vật rắn quay quanh một trục cố định có giá trị bằng xung lượng của tổng vectơ 
mômen ngoại lực tác dụng lên vật rắn trong cùng khoảng thời gian tương ứng.
 *Định luật bảo toàn mômen động lượng
 Xét hệ chất điểm cô lập, ta có:
 d L    
 M 0 L const nghĩa là tổng đọng lượng của hệ trong những trường hợp này được bảo toàn.
 dt
 Khi hệ quay  xung quanh một trục cố định thì:
 d L d     
 I  I   I  M 0
 dt dt 1 1 2 2 n n 
     
 I11 I22  In n const
3.3. Chuyển động của vật rắn. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn.
3.3.1. Chuyển động của vật rắn.
 a.Chuyển động tịnh tiến.
 Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động sao cho bất kỳ đoạn thẳng nào ẽ trong vật rắn cũng song song với chính nó.
 Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến mọi chất điểm của nó đều vạch những quỹ đạo giống nhau, vì vậy mọi chất điểm của vật rắn 
chuyển động tịnh tiến đều có cùng đường đi s, cùng vận tốc v và cùng gia tốc a .
Gọi m1 ,m2 ,........mi ,... là các phần tử khối lượng trong vật rắn. F1 , F2 ,......Fi .....là tổng các ngoại lực và F1 ', F2 ',......Fi '..... là 
tổng các nội lực tác dụng lên các phần tử khối lượng tương ứng.
 ' ' '
 m1.a F1 F1 ;m2.a F2 F2 ;...................mi .a Fi Fi
Cộng vế với vế của các phương trình này, ta được: mi .a  F i  F'i
 i i i
Vì  Fi ' 0 nên m.a F (3.12)
 i
 b.Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định.
 Khi một vật rắn chuyển động quay chung quanh một đường thẳng cố định ∆ thì:
 + Mọi điểm của vật rắn vạch những vòng tròn có cùng trục ∆. 
 + Trong cùng một khoảng thời gian, mọi điểm của vật rắn đều quay được cùng một góc ố. 
 d d d 2
 + Tại cùng một thời điểm, mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc góc  và gia tốc góc  
 dt dt dt 2
 + tại một thời điểm, véc tơ vận tốc thẳng và véc tơ gia tốc tiếp tuyến của một chất điểm bất kì của vật rắn cách trục quay 1 
khoảng xác định r được xác định bởi các công thức: v   r , at   r
 c.Mômen lực đối với trục quay. 
 *Tác dụng của lực trong chuyển động quay:
 Giả sử lực F tác dụng lên vật rắn quay xung quanh trục∆ đặt tại điểm M:
 F F 1 F 2 F t F n F Z (3.13)
 F t  OM nghĩa là nằm theo tiếp tuyến của vòng tròn tâm O bán kính OM.
 F Z : không gây ra chuyển động quay chỉ có tác dụng làm cho vật rắn trượt dọc theo trục ∆, điều 
này không xảy ra vì giả thiết vật rắn chỉ quay xung quanh ∆.
 F n : không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn dời khỏi trục ∆ , điều này 
không xảy ra vì trục ∆ cố định.
 11 F t : tác dụng làm vật quay quanh ∆ 
 Kết luận: Trong chuyển động quay của một vật rắn xung quanh một trục chỉ những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của 
điểm đặt mới có tác dụng thực sự.
 *Mômen lực:
 Thực nghiệm chứng tỏ tác dụng của F t không những phụ thuộc vào cường độ của nó mà còn phụ thuộc khoảng cách r, khoảng 
cách càng lớn thì tác dụng của lực càng mạnh.
 Định nghĩa: Mômen của lực F t đối với trục quay ∆ là mộ véc tơ M xác định bởi: M r  Ft rFt sin(r, Ft ) rFt
 (3.14)
 Dễ dàng chứng minh rằng:
 + Mômen của một lực F đối với trục quay ∆ sẽ bằng không khi lực đó bằng không hoặc khi lực đó đồng phẳng với ∆.
 + Mômen M của F đối với trục quay ∆ là mômen của F t đối với điểm O (giao điểm của ∆.và mặt phẳng chứa F t  ).
3.3.2. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn.
 Giả sử có vật rắn quay quanh trục cố định z, xét chất điểm thứ i có khối lượng cách trục r i chịu tác dụng của ngoại lực tiếp tuyến 
Fti : Fti mi ati nhân có hướng 2 vế với bán kính véc tơ: ri OM i , ta được:
 F  r m a  r mà F  r M 
 ti  i  i ti i  ti  i   i   
 2
 Mặt khác ati  ri ri  (  ri ) (ri ri ) (ri  )ri ri  0
 2
 miri  M i (3.15)
 n  n  
 Hay 2 (3.16)
 ( miri )  M i
 i 1 i 1
 Đặt:  M i M : Tổng hợp mômen các ngoại lực tác dụng lên vật rắn 
 2
  mi ri I : Gọi là mômen quán tính
 I  M (3.17)
 Biểu thức (3.17) là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quay quanh một trục cố định.
 M
  (3.18)
 I
 Nhận xét:
 Gia tốc góc trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục tỉ lệ với tổng hợp mômen các ngoại lực đối với trục và tỉ lệ 
nghịch với mômen quán tính của vật rắn đối với trục.
 Phương trình (3.17) có dạng tương tự phương trình cơ bản của động lực học vật rắn tịnh tiến.
 Mômen lực M (giống F ) đặc trưng cho tác dụng của ngoại lực lên vật rắn chuyển động quay.
 Gia tốc góc  (giống a ) đặc trưng cho biến thiên trạng thái của chuyển động quay.
 Mômen quán tính I (giống m) đặc trưng cho quán tính của vật rắn chuyển động quay.  
 Thật vậy cùng mômen lực M tác dụng. Nếu mômen quán tính I càng lớn thì gia tốc góc  càng nhỏ và vận tốc góc  biến 
thiên càng ít, nghĩa là trạng thái chuyển động quay của vật rắn thay đổi càng ít. 
3.3.3. Mô men quán tính của vật rắn.
 a.Trường hợp chung.
 Mô men quán tính I của vật rắn quay quanh một trục cố định được tính theo công thức: 
 n
 2 (3.19)
 I  miri
 i 1
 Nếu khối lượng phân bố liên tục trong toàn bộ thể tích của nó thì ta chia vật thành những phần tử khối lượng vô cùng nhỏ dm, 
khi đó mô men quán tính được tính như sau: 
 I r 2dm (3.20)
 cavat
 b.Mô men quán tính của vạt rắn có trục đối xứng.
 ml 2
 Thanh đồng chất đối với trục quay 0 đi qua khối tâm và vuông góc với thanh: I 
 0 12
 mR 2
 Khối trụ đặc đồng chất: I 
 0 2
 2
 Vành trụ rỗng: I0 mR
 2
 Khối cầu đặc: I mR 2
 0 5
 12 1
 Bản phẳng chữ nhật: I m.(a 2 b 2 ) 
 0 12
 c.Định lý Steiner- Huyghen.
 Muốn tính mômen quán tính của vật rắn đối với trục song song với trục 0 thì phải sử dụng định lý Steiner- Huyghen.
 Định lý: Mômen quán tính I của vật rắn đối với trục bất kỳ bằng mômen quán tính I0 của vật rắn đối với trục 0 ( đi qua khối 
tâm G) song song với cộng với tích số giữa khối lượng m của vật với bình phương khoảng cách d giữa hai trục đó.
 2
 I I0 md (3.21) 
 Chương IV: TRƯỜNG LỰC THẾ VÀ TRƯỜNG HẤP DẪN
4.1. Khái niệm và tính chất của trường lực thế.
4.1.1. Định nghĩa.  
 Trường lực là một khoảng không gian mà tại mỗi vị trí của không gian đó đều có lực F tác dụng lên chất điểm.
 Nói chung lực F phụ thuộc vào vị trí của chatts điểm, hay nó là một hàm của toạ độ: F F(r) F(x, y, z) (4.1)
  
Khi chất điểm chuyển động từ vị trí (1) đến vị trí (2) bất kỳ trong trường lực, thì công của lực F sinh ra trong dịch chuyển này là:
 (2)  
 A Fd s (4.2) 
 12 
 (1)  
Nếu công A12 không phụ thuộc vào dạng đường đi mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối thì F(r) là một lực thế của trường lực 
thế.
4.1.2. Tính chất.
 a.Thế năng tại một vị trí trong trường lực thế được xác định sai khác nhau một hằng số cộng, nhưng hiệu thế năng giữa hai vị trí 
thì hoàn toàn xác định.
 b.Lưu số của véc tơ lực dọc theo một đường cong kín thì bằng không.
 c.Nếu xét chuyển dời vi phân ds, ta có thể viết:
 dWt dA Fds cos dWt Fsds
 dWt
 Từ đó ta có: Fs 
 ds 
 Như vậy hình chiếu của F lên một phương nào đó bằng độ giảm thế năng trên một đơn vị dài dọc theo phương đó.
 Trong hệ toạ độ Đê các thì F Fx .i Fy . j Fz .k
 W W W
 Trong đó: F t ; F t ; F t
 x x y y z z
  
 Wt Wt Wt 
 F i j k grad Wt 
 x y z 
 Wt Wt Wt 
 Với grad Wt i j k 
 x y z 
4.2. Công - công suất.
4.2.1. Công - công suất. 
 a.Trường hợp lực không đổi.  
 Giả sử vật chịu tác dụng của lực F không đổi điểm đặt của lực di chuyển theo một 
đoạn thẳng S MM ' . Công mà lực F thực hiện là:
 A Fs cos (4.3)
  
 A F.s (4.4)
 Nhận xét: Công A là đại lượng vô hướng, có thể dương hoặc âm.
  
 + A 0 khi , khi đó ta nói F là lực phát động và A là công phát động.
 2
  
 + A 0 khi , khi đó ta nói F là lực cản và A là công cản.
 2
  
 + A 0 khi , Lực F vuông góc với phương dời chuyển, công thực hiện bằng không.
 2
 b.Trường hợp tổng quát.  
 Lực làm cho vật chuyển dời trên đường cong CD và trong quá trình đó lực F thay đổi cả 
phương, chiều và độ lớn. Ta chia đường cong CD thành những đoạn chuyển dời vi phân ds MM ' 
  
sao cho mỗi đoạn này coi như thẳng và trên đó lực F không đổi.
 Công nghuyên tố trong chuyển dời ds là: dA F.d s
 13  
 Công của lực F thực hiện trên CD là: A dA Fds (4.4) 
 CD CD
 c.Công suất của lực.
 Công suất là đại lượng đặc trưng cho tốc độ sinh công.
 A
 Công suất trung bình: P (4.5)
 tb t
 A dA Fds 
 Công suất tức thời: P lim Fv (4.6)
 t 0 t dt dt
 Vậy công suất là đại lượng bằng đạo hàm của công theo thời gian.
 Đơn vị của công và công suất là Jun (J) và Oát (W).
4.2.2. Công, công suất trong chuyển động quay.  
 Nếu vật rắn quay xung quanh trục cố định￿ ∆, lực tiếp tuyến F nằm trong mặt phẳng quỹ đạo làm cho vật rắn quay thỡ khi 
  t
đó, công vi phân của lực tiếp tuyến Ft là: dA Ft .ds
 Mặt khác ds r.d , với d là góc quay ứng với chuyển dời ds. 
 Vậy dA r.Ft .d M.d
 Công của mô men lực thực hiện khi làm cho vật quay từ góc 1 đến góc 2:
 2
 A M.d (4.7)
 1
 dA d
 Công suất mô men lực là: P M M (4.8)
 dt dt
 Hay P M. (4.9)
4.3. Động năng - định lý về động năng.
4.3.1. Khái niệm về động năng.
 a.Định nghĩa: Động năng là phần năng lượng ứng với sự chuyển dời vị trí của vật.
4.3.2. Định lý về động năng.  
 Giả sử chất điểm m, chịu tác dụng của một lực F làm nó di chuyển từ vị trí (1) đến vị trí (2) tren đường cong (C). Công của lực 
 (2) 
F thực hiện trong quá trình này là A Fds
 (1)
  dv d s 
 Theo định luật II Newton F ma m và v
 dt dt
 (2)  (2) (2) dv (2) 
 A Fd s ma.d s m .d s mv.dv
 (1) (1) (1) dt (1)
 2
 (2) v (2) v2 
 Nếu m không đổi thì ta có thể viết: A md md 
 2 2
 (1) (1) 
 Tại các vị trí (1) và (2) chất điểm có các vận tốc tương ứng là v1 , v2 . Tính tích phân trên ta được:
 mv2 mv2
 A 2 1 W W (4.10)
 2 2 d 2 d1
 Tổng quát: Động năng của chất điểm có khối lượng m, chuyển động với vận tốc v là:
 mv2
 W (4.11)
 d 2
 *Định lí về động năng: 
 Công của lực trong dịch chuyển chất điểm từ vị trí (1) đến vị trí (2) bằng độ biến thiên động năng cua chất điểm trong dịch 
chuyển này.
 *Động năng của vật rắn quay.
 d
 Ta có dA M.d I.d I d Id
 dt
 I 2 
 Khi I không đổi, ta có thể viết: dA d 
 2 
 Công toàn phần của mô men ngoại lực tác dụng lên vật rắn từ thời điểm có vận tốc góc 1 đến lúc có vận tốc góc 2 là:
 14 A 2 2 2 2
 I I2 I1
 A dA d (4.12)
 2 2 2
 0 1 
 I 2
 Vậy động năng của vật rắn ở thời điểm có vận tốc  là: W (4.13)
 d 2
 mv2 I 2
 Nếu vật rắn vừa quay vừa chuyển động tịnh tiến thì:W (4.14)
 đ 2 2
4.4. Thế năng - Định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế.
4.4.1. Thế năng của trường lực thế.
 Theo (4.2) do công A12 chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của chuyển dời. Từ đây ta có định nghĩa:
 Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là một hàm Wt phụ thuộc vào vị trí của chất điểm sao cho:
 A12 Wt (1) Wt (2) (4.15)
4.4.2. Tính chất của thế năng.
 Thế năng là dạng năng lượng đặc trưng cho tương tác.
 (2)  
 Từ hệ thức: A Fd s W (1) W (2) (4.16)
 12 t t
 (1)
  Nếu chất điểm chuyển động theo một đường cong kín (C) tức là điểm (1) trùng (2) thì A12= 0 hay từ (4.16) ta suy ra: 
Ñ Fd s 0 (4.17)
 C   
 Tích phân Ñ Fd s được gọi là lưu số của véc tơ lực F dọc theo đường cong kín (C).
 C
 Thế năng trọng lực: Wt mgz ( với z là độ cao hay sâu so với mốc tính thế năng ).
 1
 Thế năng đàn hồi: W kx2
 t 2
4.4.3. Định luật bảo toàn cơ năng Trong trường lực thế .
 Cơ năng là phần năng lượng ứng với chuyển động cơ học của toàn bộ vật. Trong trường lực thế, cơ năng của vật bao gồm động 
năng và thế năng tương ứng của vật.
 Khi chất điểm có khối lượng m chuyển động từ vị trí (1) sang vị trí (2) trong trường lực thế thì ta có: A12 Wt (1) Wt (2)
 Mặt khác theo định lí về động năng thì: A12 Wd (2) Wd (1)
 Do đó: Wt (1) Wt (2) Wd (2) Wd (1)
 Hay: Wt (1) Wd (1) Wt (2) Wd (2) (4.18)
 Nghĩa là tổng động năng và thế năng ( tức là cơ năng ) của chất điểm trong trường lực thế được bảo toàn.
 Định luật bảo toàn cơ năng trong trọng trường:
 mv2 1 mv2 1
 1 mgz kx2 2 mgz kx2 (4.19)
 2 1 2 1 2 2 2 2
4.5. Trường hấp dẫn - Thế năng trong trường hấp dẫn.
4.5.1. Định luật Newtơn về trường hấp dẫn..
 Định luật: Hai chất điểm có khối lượng lần lượt là m 1 và m2 đặt cách nhau một khoảng r sẽ hút nhau những lực có cường độ cho 
bởi: 
 m m
 F G 1 2 (4.20)
 r 2
 Trong đó G là hằng số hấp dẫn, tronh hệ SI nó có giá trị: 
 Nm2 m3
 G 6,6710 11 6,6710 11
 kg 2 kg 2s2
 Lực hấp dẫn của Trái đất được gọi là trọng lực. Trường hấp dẫn của Trái đất được gọi là trọng trường.
4.5.2. Trường hấp dẫn.
 Để giải thích lực hấp dẫn giữa các vật, người ta cho rằng xung quanh vật tồn tại một 
trường lực gọi là trường hấp dẫn. Biểu hiện cụ thể của trường hấp dẫn là nó là tác dung lên bất kỳ vật 
nào có khối lượng đặt trong nó.
 Ta giả sử xét chất điểm có khối lượng m’ chuyển động từ điểm (1) đến điểm (2) trong 
trường hấp dẫn của chất điểm có khối lượng m, dọc theo đường cong (C) ( hình vẽ ).  
 Công nguyên tố của lực F do m tác dụng lên m’ trong chuyển dời vi phân d s PQ là: 
  
dA Fd s Fds cos , với ds cos PH , PH là hình chiếu của d s lên phương của 
   
lực F . Với lực hấp dẫn F hướng từ m’ đến m nên là góc tù, do đó ds cos 0 nên: 
 
Fd s F.PH , do đó NQ PH MQ MN (dr r) r dr
 15 Công A12 do lực hấp dẫn thực hiện được trên cả đoạn đường từ điểm (1) đến điểm (2) là: 
 (2)   (2)
 A F.ds F.dr
 12 
 (1) (1)
 r2 m.m' m.m' m.m'
 A G .dr ( G ) ( G )
 12 r 2 r r
 r1 1 2
 Vậy trường hấp dẫn của chất điểm có khối lượng m là trường lực thế.
 Tổng quát: Trường hấp dẫn Newton là trường lực thế.
4.5.3. Thế năng trong trường hấp dẫn.
 Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là một hàm của toạ độ: Wt Wt (x, y, z) . Trong trường hợp thế năng một chiều thì 
nó chỉ phụ thuộc vào một toạ độ ( z chẳng hạn ), khi đó: Wt Wt (z)
 Tổng quát thế năng của vật trong trường hấp dẫn được xấc định bởi:
 m.m'
 W G C (4.21)
 t r
 m.m'
 Với C là một hằng số. Nếu coi thế năng ở vô cự bằng không thì C = 0, khi đó ta có: W G
 t r
4.5.4. Định luật bảo toàn cơ năng.
 Khi vật chuyển động trong trường lực thế mà chỉ chịu tác dụng của các lực thế thì cơ năng của nó được bảo toàn.
 mv2 Mm 
 W G const (4.22)
 2 r 
 Chương V:NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC
5.1. Các trạng thái vĩ mô, vi mô, các định luật thực nghiệm, phương trình trạng thái của khí lý tưởng.
5.1.1. Những khái niệm.
 a.Hệ nhiệt động. 
 Là một hệ vật lý bao gồm một số lớn các hạt nguyên tử phân tử, các hạt này luôn chuyển động nhiệt hỗn loạn và trao đổi năng 
lượng cho nhau khi tương tác.
 Nếu hệ không trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài thì được gọi là hệ cô lập nhiệt .
 Nếu hệ không trao đổi công với môi trường bên ngoài thì được gọi là hệ cô lập cơ. 
 b.Thông số trạng thái.
 Trạng thái của hệ được xác định bởi một tập hợp các đại lượng vật lý (V,T,P,m...) các đại lượng vật lý này gọi là các thông số 
trạng thái.
 c.Áp suất.
 F
 Là một đại lượng vật lý có độ lớn bằng lực nén vuông góc lên một đơn vị diện tích: p n (5.1)
 S
 d.Nhiệt độ.
 Là đại lượng đặc trưng cho mức độ chuyển động hỗn loạn phân tử của các vật. Nhiệt độ liên quan đến năng lượng chuyển động 
nhiệt của các phân tử.
5.1.2. Các định luật thực nghiệm của chất khí.
 a.Khí lý tưởng.
 Khí lí tưởng là chất khí mà khi nghiên cứu có thể bỏ qua sự tương tác giữa các phân tử, chúng chỉ tương tác với nhau khi va 
chạm. Sự va chạm giữa các phân tử và giữa phân tử với thành bình tuân theo những qui luật của va chạm đàn hồi . 
 b.Định luật Boyle - Mariotte.
 *Định luật: Ở nhiệt độ nhất định, áp suất và thể tích của một khối khí xác định tỉ lệ nghịch với nhau. 
 pV const hay p1V1 p2V2 (5.2)
 Đường biểu diễn sự biến thiên của áp suất theo thể tích V khi nhiệt độ không đổi gọi là đường đẳng nhiệt, đó là đường Hypebol.
 c.Định luật Charles.
 *Định luật: Ở thể tích không đổi, áp suất của một khối khí xác định tỉ lệ thuật với nhiệt độ tuyệt đối của nó.
 16 p p p
 const hay 1 2 (5.3)
 T T1 T2
 Với T t 0C 273
 Đường biểu diễn sự biến thiên của áp suất theo nhiệt độ tuyệt đối khi thể tích không đổi gọi là đường đẳng tích, đó là đường 
thẳng.
 d.Định luật Gay-Lussac.
 *Định luật: Ở áp suất nhất định, thể tích của một khối khí xác định tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối của nó.
 V V V
 const hay 1 2 (5.4)
 T T1 T2
 Đường biểu diễn sự biến thiên của thể tích theo nhiệt độ tuyệt đối khi áp suất không đổi gọi là đường đẳng áp, đó là đường 
thẳng.
5.1.3. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng.
 Trạng thái của một khối khí lý tưởng được mô tả bởi nhiệt độ T, áp suất p và thể tích V.
 Merdeleev-Clapeyon đã tìm ra phương trình:
 pV RT (5.5)
 J
 Trong đó R là hằng số kí lý tưởng, nó có giá trị bằng R 8,13
 mol.K
 Đố với một khối khí có khối lượng m, thể tích v thì 
 
 V v (  là khối lượng phân tử )
 m
 m
 pv RT hay pV nRT (5.6)
 
 Đối với một khối khí xác định ( m const ) thì:
 pV p V p V
 const hay 1 1 2 2 (5.7)
 T T1 T2
5.2. Phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử. 
5.2.1. Phương trình.
 a.Thuyết động học phân tử.
 +Các chất khí có cấu tạo gián đoạn và bao gồm một số rất lớn các phân tử.
 +Các phân tử chuyển động hỗn loạn không ngừng. Khi chuyển động chúng va chạm vào nhau và va chạm vào thành bình.
 +Cường độ chuyển động phân tử biểu hiện ở nhiệt độ của khối khí. Chuyển động phân tử càng mạnh thì nhiệt độ càng cao. Nhiệt 
độ tuyệt đối tỉ lệ với động năng trung bình của các phân tử.
 +Kích thước của các phân tử rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng. Trong nhiều trường hợp tính toán, ta có thể bỏ qua kích 
thước của các phân tử và mỗi phân tử được coi như một chất điểm.
 +Các phân tử không tương tác với nhau trừ lúc va chạm. Sự va chạm giữa các phân tử và giữa các phân tử với thành bình tuân 
theo những quy luật của va chạm đàn hồi.
 b.Phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử.
 Trước hết ta thấy rằng áp suất khí lên thành bình là do các phân tử khí khi chuyển động đập vào thành bình gây ra. Khi một phân 
tử khí vhuyeenr động với vận tốc v đạp vào thành bình dưới góc  thì sự thay đổi động lượng trước và sau va chạm bằng 2mvcos. Theo 
định lí thứ nhất về động lượng, ta có thể sử dụng sự biến đổi động lượng này để đưa ra biểu thức của lực. Biết lực ta sẽ tìm được áp suất.
 Giả sử có n phân tử trong một hộp có hình khối hộp chữ nhật có các cạnh là. Giả sử rằng phân tử dịch chuyển từ mặt này sang mặt 
khác, ít có khả năng va chạm vào cá phân tử khác. Gọi các thành phần vận tốc là vx ,vy ,vz . Do đó độ lớn của vận tốc là: 
 2 2 2
v vx vy vz
 Phân tử đang xét va chạm vào mặt nào đó một lần khi nó đi được quãng đường 2lx theo phương x. Theo hướng này vận tốc có giá 
 2lx
trị là vx và vx . Như vậy thời gian t giữa hai va chạm vào mặt đó là: t .
 vx
 2mv 2mv mv2
 Động lượng theo hướng x thay đổi một lượng bằng 2mv , do đó lực tác dụng lên mặt này bằng: F x x x
 x x 2l
 t x lx
 vx
 Áp suất trung bình của phân tử đang xét tác dụng lên thành bình là:
 2 2
 Fx mvx mvx
 px 
 lylz lxlylz V
 Trong đó V là thể tích của khối khí trong hộp.
 2 2
 mvy mv
 Tương tự ta có: p ; p z
 y V z V
 17 Gọi vxi ,vyi ,vzi là các thành phần vận tốc của phân tử thứ i theo phương x,y,z. Khi đó áp suất tổng cộng của N phân tử trong khối 
khí theo các phương x,y,z là:
 2 2 2
 mvx1 mvx2 mvxN m 2 2 2
 px px1 px2  pxN  vx1 vx2  vxN 
 V V V V
 Nm v2 v2 v2
 Hay: p v2 trong đó v2 x1 x2 xN
 x V x x N
 Tương tự đối với các phương y và z ta cũng có:
 Nm Nm
 p v2 và p v2
 y V y z V z
 Theo nguyên lý Pascan thì px py pz p
 2 2 2 2 2 2 2
 Hay nói cách khác vx vy vz nhưng v vx vy vz
 1 Nm 1
 Do đó áp suất p bằng: p v2 v2 (5.8)
 3 V 3
 Biểu thức (5.8) gọi là phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử khí.
 2
 Đại lượng v gọi là tốc độ căn quân phương ( kí hiệu vr.m.s ).
5.2.2. Hệ quả.
 *Biểu thức tính động năng tịnh tiến.
 Đối với một hệ gồm N phân tử, mỗi phân tử có khối lượng m thì động năng của hệ vằng tổng động năng của tất cả các phân tử 
khí. Nếu các phân tử khí có vận tốc v1,v2 ,...,vN khi đó tổng động năng sẽ là:
 2 2 2
 1 2 1 2 1 2 1 v1 v2  vN 1 2
 Wd mv1 mv2  mvN Nm Nm v (5.9)
 2 2 2 2 N 2
 Phương trình tạng thái của khí lý tưởng hoàn toàn có thể giải thích được nêu ta đưa vào đây nhiệt độ. Ta có: pV nRT và 
 1
 pV Nm v2
 3
 Nếu ta giả thiết rằng Nm v2 tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối ( nghĩa là Nm v2 const T ). Khi đó pV const T . Kết 
quả là hầu như giống phương trình trạng thái khí lí tưởng. Chúng ta cũng có thể làm hoàn toàn tương tự bằng giả thiết 
1 1 3nRT
 Nm v2 nRT . Diều đó có nghĩa là động năng toàn phần của N phân tử khí Nm v2 sẽ tương đương với .
3 2 2
 Như vậy động năng toàn phần tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối:
 1 3nRT 1 3nRT
 Nm v2 do đó m v2 (5.10)
 2 2 2 2N
 23 1 1 2 3nRT 3RT 3
 Đối với n mol khí, số phân tử của nó bằng n.N A ( với N A 6,02.10 mol ) ta có: m v kT 
 2 2nN A 2N A 2
(5.11)
 R
 Trong đó k gọi là hằng số Boltzmann, nó có trị số bằng k 1,38.10 23 J / K .
 N A
 1
 Như vậy chúng ta vừa chứng minh phương trình trạng thái cua khí lí tưởng pV Nm v2 bằng cách giả thiết cho rằng 
 3
 1 3
động năng tịnh tiến trung bình m v2 kT .
 2 2
5.3. Nội năng của khí lý tưởng.
5.3.1. Nội năng của một vật.
 Năng lượng của hệ gồm động năng ứng với chuyển động có hướng cuả cả hệ, thế năng của cả hệ và phần năng lượng ứng với 
chuyển động bên trong của hệ tức là nội năng của hệ: W Wd Wt U
 Đối với khí lí tưởng nội năng là tổng năng lượng chuyển động nhiệt của các phân tử cấu tạo nên hệ.
 Trong nhiệt động học, ta giả thiết rằng chuyển động có hướng của hệ là không đáng kể và hệ không đặt trong một trường lực nào, 
do đó năng lượng của hệ đúng bằng nội năng của hệ.
5.3.2. Bậc tự do - định luật phân bố đều năng lượng cho các bậc tự do.
 Bậc tự do i là số tọa độ xác định các khả năng chuyển động của phân tử trong không gian.
 Phân tử đơn nguyên tử có i 3
 Phân tử gồm 2 nguyên tử i 5
 Phân tử gồm 3 nguyên tử i 6
 18 Định luật (Maxwell): Động năng trung bình của các phân tử được phân bố đều cho các bậc tự do của phân tử.
5.3.3. Nội năng của khí lí tưởng.
 Biểu thức (5.11) cho ta động năng trung bình của phân tử ( thiết lập cho các phân tử có cấu tạo đơn nguyên tử ). Trong trường hợp 
tổng quát, biểu thức động năng trung bình của phân tử có cấu tạo từ một số bất kì các nguyên tử có dạng:
 i
 W kT (5.12)
 d 2
 Vì các phân tử khí lí tưởng không tương tác với nhau nên nội năng của khí lí tưởng bằng tổng động năng của các phân tử. Giả sử 
một mol khí lí tưởng có NA phân tử, thì nội năng của một mol khí lí tưởng bằng:
 i i
 U N W N kT RT (5.13)
 A d 2 A 2
 Đối với một khối lượng khí lí tưởng m bất kì:
 m i
 U RT (5.14)
  2
5.4. Nguyên lý thứ nhất nhiệt động lực học.
5.4.1. Công và nhiệt trong quá trình cân bằng.
 a.Trạng thái cân bằng và quá trình cân bằng.
 Xét một hệ nhiệt động, tức là xét một hệ vật mà trạng thái của nó được xác định bởi một tập hợp cacd đị lượng vật lí hay thông 
số trạng thái độc lập đối với nhau. Khi đó trạng thái cân bằng của hệ là trạng thái không biến đổi theo thời gian và tính bất biến đó 
không phụ thuộc vào các quá trình của ngoại vật.
 Khi trạng thái của hệ nhiệt động thay đổi ( do có sự trao đổi công và nhiệt lượng với môi trường ngoài ) người ta nói rằng hệ 
thực hiện một quá trình. Nếu quá trình đó biến đổi theo một chuỗi các trạng thái cân bằng thì đó là quá trình cân bằng. Do mỗi trạng 
thái cân bằng được biểu diễn bởi một điểm trên đồ thị p V , nên quá trình cân bằng là một đường cong liên tục.
 b.Công trong quá trình cân bằng.
 Quy ước dấu của công (A) và nhiệt (Q):
 A>0 ; Q>0 : khi hệ nhận chúng từ bên ngoài.
 A<0 ; Q<0 : khi hệ cung cấp chúng ra ngoài.
 Giả sử hệ nhiệt động là một khối khí trong xilanh nằm dưới pittông và giả sử khối khí được biến đổi theo một quá trình cân 
bằng, khi đó thể tích biến đổi từ giá trị V 1 đến V 2. Dưới tác dụng của ngoại lực F, pittông dịch chuyển một đoạn dl, công A bằng: 
dA Fdl .
 Dấu (-) ở vế phải là do khối khí thực sự nhận công (dA >0 ), mà dl < 0. Vì quá trình cân bằng nên ngoại lực F luôn cân bằng với 
lực do khối khí tác dụng lên pittông, lực này bằng pS. Trong đó p là áp suất của khí tác dụng lên pittông và S là diện tích của nó. Khi đó: 
 A Fdl pSdl pdV
 Ở đây dV Sdl là độ biến thiên thể tích của khối khí, Khi đó công mà khối khí nhận được trong quá trình nén:
 V2
 A  A pdV (5.15)
 V1
 V2
 Nếu quá trình là đẳng áp thì: A p dV p V V (5.16)
 1 2 
 V1
 c.Nhiệt lượng trong quá trình cân bằng.
 -Nhiệt dung riêng c của một chất: đó là một đại lượng vật lí, về trị số bằng nhiệt cần thiết truyền cho một đơn vị khối lượng của 
chất đó để nhiệt độ của nó tăng thêm một độ.
 Q
 c (5.17)
 mdT
 Trong đó dQ là nhiệt lượng truyền cho khối lượng m của một chất là nhiệt độ nó tăng thêm một lượng dT.
 Q mcdT (5.18)
 -Nhiệt dung mol C của chất, về trị số nó bằng nhiệt lượng cần truyền cho một mol chất đó để nhiệt độ của nó tăng một độ.
 C c (5.19)
 Trong đó  là khối lượng một mol chất đang xét.
 m
 Q CdT (5.20)
 
5.4.2. Nguyên lý I nhiệt động học.
 *Nguyên lý: Trong quá trình biến đổi trạng thái của hệ, độ biến thiên nội năng của hệ bằng tổng công và nhiệt lượng mà hệ 
trao đổi trong quá trình này.
 *Biểu thức: U A Q (5.21)
 Các đai lượng U, A,Q có thể dương hoặc âm.
 -Nếu A 0,Q 0 thì U 0 nghĩa là hệ thực sự nhận công và nhiệt lượng từ bên ngoài thì nội năng của hệ tăng.
 -Nếu A 0,Q 0 thì U 0 nghĩa là hệ thực sự sinh công và toả nhiệt lượng ra bên ngoài thì nội năng của hệ giảm.
 *Chú ý: Nếu hệ nhiệt động chỉ chịu một biến đổi vi phân, thì biểu thức (5.21) được viết như sau: dU  A Q
 (5.22)
 19 5.4.3. Các hệ quả.
 a.Đối với hệ cô lập, là hệ không trao đổi công và nhiệt với bệ ngoài.
 A 0,Q 0 khi đó U 0 hay U const
 Vậy nội năng của hệ cô lập được bảo toàn.
 Nếu hệ cô lập gồm hai vật chỉ trao đổi nhiệt với nhau và giả sử Q1, Q2 là nhiệt lượng mà chúng nhận được thì: 
Q Q1 Q2 0 Q1 Q2
 Vậy trong hệ cô lập gồm hai vật chỉ trao đổi nhiệt với nhau thì nhiệt lượng do vật này toả ra bằng nhiệt lượng do vật kia nhận 
được.
 b.Trường hợp hệ là một máy làm việc tuần hoàn, nghĩa là nó biến đổi theo một quá trình kín hay chu trình. Sau một dãy các 
biến đổi hệ trở về trạng thái ban đầu. Như vậy sau một chu trình U 0
 Từ U A Q 0 A Q
 Vậy trong một chu trình, công mà hệ nhận được có giá trị bằng nhiệt lượng do hệ toả ra bên ngoài hay công do hệ sinh ra có giá 
trị bằng nhiệt lượng mà hệ nhận vào từ bên ngoài.
5.4.4. Ý nghĩa.
Không thể nào chế tạo được động cơ vĩnh cửu loại một, là động cơ làm việc tuần hoàn sinh công mà lại không nhận thêm năng lượng từ 
bên ngoài hoặc sinh công lớn hơn năng lượng truyền cho nó.
5.5. Dùng nguyên lý I để khảo sát các quá trình cân bằng của khí lý tưởng.
5.5.1. Quá trình cân bằng đẳng tích.
 Do thể tích không đổi nên theo (5.16) hệ không thể thực hiện được công.
 A 0 U Q hay dU Q
 m i m
 Mặt khác từ (5.14) ta suy ra: dU RdT và Q C kT , Công thức này suy ra từ (5.20) với C C là nhiệt dung 
  2  V V
 m i
mol đẳng tích. Khi đó ta suy ra: RdT C dT hay:
  2 V
 i
 C R (5.23)
 V 2
5.5.2. Quá trình cân bằng đẳng áp.
 Công trong trường hợp này do áp suất không đổi nên được tính như sau:
 V2
 A p dV p V V
 1 2 
 V1
 Nhiêt mà khối khí nhận được trong quá trình đẳng áp bằng:
 T2 m m T2 m
 Q Q C dT C dT C T (5.24)
  p  p  p
 T1 T1
 Trong đó Cp là nhiệt dung mol đẳng áp của khí.
 Theo nguyên lí thứ nhất nhiệt động lực học, ta có:
 m
 U p V V C T (5.25)
 1 2  p
 m i
 Mặt khác: U R T
  2
 m
 Từ phương trình trạng thái khí lí tưởng pV RT , ta có:
 
 m m
 p V V R(T T ) R T (5.26)
 1 2  1 2 
 Từ (5.25) và (5.26) ta suy ra:
 m i m m
 R T C T R T . Do đó:
  2  p 
 i 2
 C R (5.27)
 p 2
 Kết hợp (5.27) với (5.23) ta tìm được:
 C p CV R (5.28)
 C p i 2
  (5.29)
 CV i
 Đây chính là hệ thức Maye và  là hệ số Poatxông.
5.5.3. Quá trình cân bằng đẳng nhiệt.
 20